ভেক্টর \(\bar{V}\) অঘূর্ণনশীল হওয়ার শর্ত:

একটি ভেক্টর ক্ষেত্র \(\bar{V}\) অঘূর্ণনশীল হবে যদি তার কার্ল শূন্য হয়। অর্থাৎ, \(\bar{\nabla} \times \bar{V} = \bar{0}\) হতে হবে। 🌀

এখানে, \(\bar{V} = (6xy + z^3)\hat{i} + (3x^2 - z)\hat{j} + (3xz^2 - y)\hat{k}\).

কার্ল নির্ণয়:

\(\bar{\nabla} \times \bar{V} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6xy + z^3 & 3x^2 - z & 3xz^2 - y \end{vmatrix}\)

\(= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(3xz^2 - y) - \frac{\partial}{\partial z}(3x^2 - z) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(3xz^2 - y) - \frac{\partial}{\partial z}(6xy + z^3) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - z) - \frac{\partial}{\partial y}(6xy + z^3) \right)\)

\(= \hat{i} (-1 - (-1)) - \hat{j} (3z^2 - 3z^2) + \hat{k} (6x - 6x)\)

\(= \hat{i}(0) - \hat{j}(0) + \hat{k}(0) = \bar{0}\)

যেহেতু \(\bar{\nabla} \times \bar{V} = \bar{0}\), তাই ভেক্টর \(\bar{V}\) অঘূর্ণনশীল। 🎉

সুতরাং, ভেক্টর \(\bar{V}\) অঘূর্ণনশীল হওয়ার শর্ত হলো: \(\bar{\nabla} \times \bar{V} = \bar{0}\)। ✅