x এর কোন মানগুলির জন্য \( \begin{pmatrix} x & -1 & -1 \\ 0 & x & -3 \\ x-4 & -1 & 0 \end{pmatrix} \) ম্যাট্রিক্সের কোন বিপরীত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে না?

🤔 একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স (\(inverse\)) না থাকার শর্ত হলো ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক (\(determinant\)) শূন্য হওয়া।

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি হলো: \( A = \begin{pmatrix} x & -1 & -1 \\ 0 & x & -3 \\ x-4 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)

ম্যাট্রিক্স \(A\)-এর নির্ণায়ক (\(|A|\)) নির্ণয় করি:

\( |A| = x \begin{vmatrix} x & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ x-4 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 0 & x \\ x-4 & -1 \end{vmatrix} \)

\( |A| = x(x \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) + 1(0 \cdot 0 - (-3) \cdot (x-4)) - 1(0 \cdot (-1) - x \cdot (x-4)) \)

\( |A| = x(0 - 3) + (0 + 3x - 12) - (0 - x^2 + 4x) \)

\( |A| = -3x + 3x - 12 + x^2 - 4x \)

\( |A| = x^2 - 4x - 12 \)

ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স না থাকার শর্তানুসারে, \( |A| = 0 \) হতে হবে।

সুতরাং, \( x^2 - 4x - 12 = 0 \)

এখন, এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি:

\( x^2 - 6x + 2x - 12 = 0 \)

\( x(x - 6) + 2(x - 6) = 0 \)

\( (x - 6)(x + 2) = 0 \)

অতএব, \( x = 6 \) অথবা \( x = -2 \)

সুতরাং, \( x \) এর মান \( 6 \) এবং \( -2 \) এর জন্য প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটির কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে না। 🎉