কোনটি sin(2x) এর n -তম অন্তরজ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: কোনটি \(\sin(2x)\) এর \(n\)-তম অন্তরজ? উত্তর: \(\boxed{2^{n} \sin\left( \frac{n\pi}{2} + 2x \right)}\) --- **সমাধান:** আমরা জানতে চাই \(\sin(2x)\) এর \(n\)-তম অন্তরজ। অর্থাৎ, আমরা \(\sin^{(n)}(2x)\) এর মান নির্ণয় করব। প্রথমে, আমরা ডেরিভেটিভের নিয়ম ব্যবহার করব। **প্রাথমিক ধাপ:** সাধারণত, \(\sin u\) এর \(n\)-তম ডেরিভেটিভ: \[ \frac{d^{n}}{dx^{n}} \sin u = \sin\left( u + \frac{n\pi}{2} \right) \cdot \left( \frac{d u}{d x} \right)^n \] যেখানে, \(u = 2x\), তাই: \[ \frac{d u}{d x} = 2 \] অর্থাৎ, \[ \frac{d^{n}}{d x^{n}} \sin(2x) = 2^{n} \sin\left( 2x + \frac{n\pi}{2} \right) \] **উপসংহার:** এবং, ডেরিভেটিভের সাধারণ সূত্র অনুযায়ী, \[ \boxed{ \frac{d^{n}}{d x^{n}} \sin(2x) = 2^{n} \sin\left( 2x + \frac{n\pi}{2} \right) } \] অর্থাৎ, \(\sin(2x)\) এর \(n\)-তম অন্তরজ হল: \[ \boxed{ \sin^{(n)}(2x) = 2^{n} \sin\left( \frac{n\pi}{2} + 2x \right) } \] **অতএব, উত্তর:** \[ \boxed{ \sin^{(n)}(2x) = 2^{n} \sin\left( \frac{n\pi}{2} + 2x \right) } \]