3×2 এবং 2×3 ক্রম বিশিষ্ট দুটি মেট্রিক্স যথাক্রমে A ও B এর ভুক্তি 0 বা 1 হলে tr(BA) এর সর্বোচ্চ মান হবে-
ধরি, \(A\) একটি \(3 \times 2\) ম্যাট্রিক্স এবং \(B\) একটি \(2 \times 3\) ম্যাট্রিক্স। তাদের ভুক্তিগুলো \(0\) অথবা \(1\)।
\(BA\) একটি \(2 \times 2\) ম্যাট্রিক্স হবে। \(tr(BA)\) এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করতে হবে।
ধরি,
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{bmatrix} \]যেখানে \(a_{ij}, b_{ij} \in \{0, 1\}\)।
তাহলে,
\[ BA = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{k=1}^3 b_{1k}a_{k1} & \sum_{k=1}^3 b_{1k}a_{k2} \\ \sum_{k=1}^3 b_{2k}a_{k1} & \sum_{k=1}^3 b_{2k}a_{k2} \end{bmatrix} \]\(tr(BA) = \sum_{k=1}^3 b_{1k}a_{k1} + \sum_{k=1}^3 b_{2k}a_{k2}\)
\(tr(BA)\) এর মান সর্বোচ্চ হবে যখন প্রতিটি গুণফল \(b_{1k}a_{k1}\) এবং \(b_{2k}a_{k2}\) এর মান \(1\) হয়। যেহেতু \(a_{ij}, b_{ij} \in \{0, 1\}\), তাই \(b_{1k} = 1\) এবং \(a_{k1} = 1\) হতে হবে, একই ভাবে \(b_{2k} = 1\) এবং \(a_{k2} = 1\) হতে হবে।
অতএব, \(tr(BA) = (b_{11}a_{11} + b_{12}a_{21} + b_{13}a_{31}) + (b_{21}a_{12} + b_{22}a_{22} + b_{23}a_{32})\)
\(tr(BA)\) এর সর্বোচ্চ মান পেতে, আমরা \(A\) এবং \(B\) এর উপাদানগুলোকে \(1\) ধরে নেই।
যদি \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) হয়,
তাহলে \(BA = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}\)
সুতরাং, \(tr(BA) = 3 + 3 = 6\)। 🎉
সুতরাং, \(tr(BA)\) এর সর্বোচ্চ মান \(6\)।
```