নিচের কোনটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স? 

সমঘাতি ম্যাট্রিক্স নির্ণয়

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স: \(A = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}\)

সমঘাতি ম্যাট্রিক্স হলে, এর ট্রেস (প্রথম ডায়াগোনাল উপাদান সমূহের যোগফল) সমান হবে ডিটারমিন্যান্টের (সমবহুমূল্য) সাথে।

প্রথমে, ট্রেস নির্ণয় করি:

\( \text{tr}(A) = -2 + (-1) = -3 \)

এখন, ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয় করি:

\[ \det(A) = (-2)(-1) - (-1)(-2) = 2 - 2 = 0 \]

তাই, ট্রেস \(= -3\), ডিটারমিন্যান্ট \(= 0\)

সমঘাতি ম্যাট্রিক্সের জন্য, ট্রেস ও ডিটারমিন্যান্টের মান এক হওয়া আবশ্যক নয়। তবে, ম্যাট্রিক্সের সমঘাতি নির্ণয়ের জন্য মূল বিষয় হলো, এর মূল অংক গুলোর মানে যদি ডিটারমিন্যান্ট সমান হয়, অথবা Eigen মান গুলোর মধ্যে সমান হয়।

Eigen মান নির্ণয় করি:

\( \det(A - \lambda I) = 0 \)

\[ \det \begin{bmatrix} -2 - \lambda & -1 \\ -2 & -1 - \lambda \end{bmatrix} = 0 \]

এখানে, ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি:

\[ (-2 - \lambda)(-1 - \lambda) - (-1)(-2) = 0 \]

\[ (-2 - \lambda)(-1 - \lambda) - 2 = 0 \]

প্রথম, বিক্রয় করি:

\[ (-2)(-1) + (-2)(-\lambda) + (-\lambda)(-1) + \lambda^2 - 2 = 0 \]

\[ 2 + 2\lambda + \lambda + \lambda^2 - 2 = 0 \]

\[ (2 - 2) + (2\lambda + \lambda) + \lambda^2 = 0 \]

\[ 0 + 3\lambda + \lambda^2 = 0 \]

অর্থাৎ,

\[ \lambda^2 + 3\lambda = 0 \]

Factor করে:

\[ \lambda (\lambda + 3) = 0 \]

অর্থাৎ, Eigen মান:

\[ \lambda_1 = 0 \], \[ \lambda_2 = -3 \]

Eigen মান গুলোর মধ্যে, একটি 0 এবং অন্যটি -3। এই ম্যাট্রিক্সের Eigen মান সমান নয়। তাই, এটি সমঘাতি নয়।

উত্তর:

উপরের বিশ্লেষণে দেখা যায়, নিচের ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতি নয়।

অতএব, উত্তর: এই ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতি নয়।