একটি বস্তু পৃথিবীর ব্যাসার্ধের \( \frac{1}{3} \) অংশের সমান দূরত্বে পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে নিচে অবস্থিত। বস্তুটির উপর অভিকর্ষজ ত্বরণ কত?

অভিকর্ষজ ত্বরণের গণনা

মনে করি, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \( R \) এবং ঘনত্ব \( \rho \)।

বস্তুটি পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে \( \frac{R}{3} \) গভীরতায় অবস্থিত। সুতরাং, পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে বস্তুটির দূরত্ব \( r = R - \frac{R}{3} = \frac{2R}{3} \)।

আমরা জানি, \( g = \frac{GM}{R^2} \), যেখানে \( G \) মহাকর্ষীয় ধ্রুবক এবং \( M \) পৃথিবীর ভর।

পৃথিবীর ভর \( M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \)।

সুতরাং, \( g = \frac{G \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R \rho \)।

\( \frac{2R}{3} \) দূরত্বে অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g' \) হবে:

\( g' = \frac{GM'}{r^2} \), যেখানে \( M' \) হলো \( r \) ব্যাসার্ধের গোলকের ভর।

\( M' = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^3 \rho = \frac{4}{3} \pi \frac{8R^3}{27} \rho \)।

সুতরাং,

\( g' = \frac{G \cdot \frac{4}{3} \pi \frac{8R^3}{27} \rho}{\left(\frac{2R}{3}\right)^2} = \frac{G \cdot \frac{4}{3} \pi \frac{8R^3}{27} \rho}{\frac{4R^2}{9}} \)

\( = G \cdot \frac{4}{3} \pi \frac{8R^3}{27} \rho \cdot \frac{9}{4R^2} = \frac{8}{9} \pi G R \rho \)।

অতএব, নির্ণেয় অভিকর্ষজ ত্বরণ \( \frac{8}{9} \pi G R \rho \)। 🎉