3( tan^-1 (2/3) + sec^-1 ((√13)/2)) =?  

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(3 \left( \tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right) + \sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right) \right) = ?\) উত্তর: "0" সমাধান: প্রথমে, নির্দিষ্ট করে নেওয়া হয়: \(A = \tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right)\) \(B = \sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)\) আমরা লক্ষ্য করব: \(3(A + B)\) প্রথমে, \(A\) এবং \(B\) এর মান নির্ণয় করি। --- **ধাপ ১: \(\sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)\) এর মান নির্ণয়** আমরা জানি: \(\sec \theta = \frac{\text{অ্যাডজেসেন্ট}}{\text{অপোজেট}} \) এবং: \(\sec B = \frac{\sqrt{13}}{2}\) অর্থাৎ, \(\text{অ্যাডজেসেন্ট} = \sec B \times \text{অপোজেট}\) আমরা জানি: \(\sec B = \frac{\sqrt{13}}{2}\) এবং, \(\sec B = \frac{\text{হাইপোটেনুস}}{\text{অপোজেট}}\) এখানে, \(\text{অপোজেট} = 1\) (সাধারণত নিয়ম অনুযায়ী, যদি না বলা হয়), তাহলে, \(\text{হাইপোটেনুস} = \sec B \times \text{অপোজেট} = \frac{\sqrt{13}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{13}}{2}\) অথবা, আমরা সাধারণভাবে বলতে পারি: \(\cos B = \frac{1}{\sec B} = \frac{2}{\sqrt{13}}\) এবং, \(\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13 - 4}{13}} = \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}\) সুতরাং, \(\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{3}{\sqrt{13}}}{\frac{2}{\sqrt{13}}} = \frac{3}{2}\) তাহলে, \(\sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right) = B = \sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)\) এবং, \(\cos B = \frac{2}{\sqrt{13}}\) --- **ধাপ ২: \(\tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right)\) এর মান** এটি সরাসরি দেওয়া। --- **ধাপ ৩: যোগফল নির্ণয়** আমরা লক্ষ্য করছি: \[ A + B \] যেখানে, \[ A = \tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right) \] \[ B = \sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right) \] আমরা জানি: \[ \sec B = \frac{\sqrt{13}}{2} \] এবং, \[ \cos B = \frac{2}{\sqrt{13}} \] তাহলে, \[ \sin B = \frac{3}{\sqrt{13}} \] --- **ধাপ ৪: মৌলিক সম্পর্ক ব্যবহার করে** প্রথমে, \(\tan A\) এর মান: \[ \tan A = \frac{2}{3} \] এবং, \[ \text{অপোজেট} = 2, \quad \অ্যাডজেসেন্ট = 3 \] সুতরাং, \(\sin A\) এবং \(\cos A\): \[ \text{হাইপোটেনুস} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] অতএব, \[ \sin A = \frac{\text{অপোজেট}}{\text{হাইপোটেনুস}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \] \[ \cos A = \frac{\text{অ্যাডজেসেন্ট}}{\text{হাইপোটেনুস}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \] --- **ধাপ ৫: \(\sin(A + B)\) ও \(\cos(A + B)\) নির্ণয়** ফর্মুলা: \[ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \] \[ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \] প্রতিটি মান আছে: \[ \sin A = \frac{2}{\sqrt{13}}, \quad \cos A = \frac{3}{\sqrt{13}} \] \[ \sin B = \frac{3}{\sqrt{13}}, \quad \cos B = \frac{2}{\sqrt{13}} \] এখন, \[ \sin(A + B) = \left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) + \left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) = \frac{4}{13} + \frac{9}{13} = \frac{13}{13} = 1 \] এবং, \[ \cos(A + B) = \left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) - \left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) = \frac{6}{13} - \frac{6}{13} = 0 \] --- **ধাপ ৬: \(\tan(A + B)\) নির্ণয়** \[ \tan(A + B) = \frac{\sin(A + B)}{\cos(A + B)} = \frac{1}{0} \rightarrow \text{অসীম বা অপ্রকাশ্য} \] অর্থাৎ, \(A + B = \frac{\pi}{2}\) (90°), কারণ \(\sin(A + B) = 1\) এবং \(\cos(A + B) = 0\). --- **উপসংহার:** \[ A + B = \frac{\pi}{2} \] তাহলে, \[ 3(A + B) = 3 \times \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \] প্রশ্নের উত্তরটি কেমন হবে? সাধারণত, \(\pi\) এর মানে 180°। তবে, প্রশ্নে দেওয়া "0" উল্লেখ করা হয়েছে, সম্ভবত বোঝানো হয়েছে সমাধানটি 0। কিন্তু বাস্তবে, হিসাব অনুযায়ী, \[ 3(A + B) = \frac{3\pi}{2} \] অর্থাৎ, 270°। অতএব, সম্ভবত প্রশ্নের মূল ধারণা হলো, **অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফলটি \(\frac{\pi}{2}\) (90°), তাই তিনগুণ করলে \(\frac{3\pi}{2}\) (270°)।** --- **সারাংশ:** **উপসংহার:** \[ 3 \left( \tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right) + \sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right) \right) = \boxed{\frac{3\pi}{2}} \] যা ডিগ্রিতে হলে, \(270^\circ\). --- **উল্লেখ্য:** প্রশ্নের উত্তর "0" দেওয়া হয়েছে, তবে বিশ্লেষণে দেখা যাচ্ছে, সঠিক মান \(\frac{3\pi}{2}\)। সম্ভবত প্রশ্নে কোন নির্দিষ্ট বিকল্প বা ভুল বোঝাবুঝি থাকতে পারে। তবে, উপরে সমাধানটি বিশদ ও বৈজ্ঞানিক ভিত্তিতে।