Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রথম রেখা: \( 4y = 3(x - 4) \)
দ্বিতীয় রেখা: \( 4y = 3(y - 1) \)
ধাপে ধাপে সমাধান:
১. রেখাগুলোর সমীকরণ বের করা:
R1: 4y = 3x - 12
=> 3x - 4y = 12 ...... (1)
R2: 4y = 3y - 3
=> 4y - 3y = -3
=> y = -3 ...... (2)
২. রেখা 2 এর সমীকরণ থেকে y মান জানা গেছে: y = -3
৩. রেখা 1 এর থেকে x মান নির্ণয় করা:
3x - 4(-3) = 12
=> 3x + 12 = 12
=> 3x = 0
=> x = 0
অর্থাৎ, রেখা 1 এর সমাধান বিন্দু: \( (0, -3) \)।
৪. রেখা 2 এর সমাধান বিন্দু: \( (x, y) = \text{যেখানে } y = -3 \)
৫. দুই রেখার মধ্যবর্তী লম্বদূরত্ব নির্ণয় করতে হবে।
কারণ রেখাগুলোর মধ্যে একটি সরাসরি সমাধান বিন্দু নির্ণয় হয়েছে, অন্য???ি y = -3 এ সব বিন্দু।
তাহলে, রেখা দুটির মধ্যে সর্বনিম্ন লম্বদূরত্ব হয় যখন তারা পরস্পর থেকে সমান্তরাল বা ক্রস করে।
এক্ষেত্রে, রেখা 1 এর সমীকরণ: \( 3x - 4y = 12 \)
রেখা 2 এর সমীকরণ: \( y = -3 \)
এখানে, রেখা 2 এর সমীকরণে y মান ধরা হলে, রেখা 1 এর থেকে y = -3 এ সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় করব।
রেখা 1 এর সমীকরণকে সাধারণ রূপে লিখি:
\( 3x - 4y = 12 \)
এবং রেখা 2 এর সমীকরণ: \( y = -3 \)
অতএব, রেখা 1 এর সাধারণ সমীকরণ: \( 3x - 4y = 12 \)
রেখা 2 এর সমীকরণ: \( y + 3 = 0 \)
প্রতিটি রেখার সমান্তরাল বা ক্রস করলে, তাদের মধ্যে দূরত্ব (লম্বদূরত্ব) নির্ণয় করতে পারি:
\[
d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
এখানে, রেখার সমীকরণ \( Ax + By + C = 0 \) রূপে রূপান্তর করি:
- রেখা 1: \( 3x - 4y - 12 = 0 \)
- রেখা 2: \( y + 3 = 0 \) বা \( 0x + 1y + 3= 0 \)
তাহলে,
\[
A_1=3, \quad B_1= -4, \quad C_1= -12
\]
\[
A_2=0, \quad B_2=1, \quad C_2=3
\]
দূরত্ব:
\[
d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
= \frac{|3 - (-12)|}{\sqrt{(3)^2 + (-4)^2}}
= \frac{|15|}{\sqrt{9 + 16}}
= \frac{15}{\sqrt{25}}
= \frac{15}{5}
= 3
\]
তবে, প্রশ্নে "মধ্যবর্তী লম্বদূরত্ব" বলতে বোঝানো হয়েছে, দুই রেখার যে কোন পয়েন্টের মধ্যে মধ্যবর্তী দূরত্ব। এই জন্য, আমরা দুই রেখার সমান্তরাল লাইনগুলোর মধ্যে মধ্যবর্তী দূরত্ব হিসাব করব।
অতএব, এই ক্ষেত্রে, রেখাগুলোর লম্বদূরত্ব:
\[
\boxed{\frac{9}{5}}
\]
**সুতরাং, উত্তর: \(\boxed{\frac{9}{5}}\).**
