Explanation: Solve: \( r = a \cos\theta \implies r^2 = a r \cos\theta \)
\(\implies x^2 + y^2 - ax = 0 \implies x^2 + y^2 + 2\left(-\frac{a}{2}\right)x + 2\cdot 0\cdot y + 0 = 0\)
\(\therefore\) কেন্দ্র, \(\left(\frac{a}{2}, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0\right)\), \([দেওয়া আছে] \therefore a = 1\)
\(\therefore\) বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2 - 0} = \frac{a}{2}\)
\(\therefore\) বৃত্তের ক্ষেত্রফল \( = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi \cdot 1^2}{4} = \frac{\pi}{4}\)
Ans. (A)
Another Explanation (5): ```html
বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় 🤩
দেওয়া আছে, \(r = a \cos\theta\) একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির কেন্দ্র \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)। এখানে \(a\) হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যেহেতু কেন্দ্র \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) দেওয়া আছে, তাই \(\frac{a}{2} = \frac{1}{2}\), সুতরাং \(a = 1\)।
অতএব, বৃত্তের সমীকরণ \(r = \cos\theta\)।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আমরা পোলার স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যবহার করব:
\[
A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta
\]
যেখানে \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলো \(\theta\) এর সীমা। যেহেতু \(r = \cos\theta\), তাই বৃত্তটি \(-\frac{\pi}{2}\) থেকে \(\frac{\pi}{2}\) পর্যন্ত বিস্তৃত। সুতরাং, \(\alpha = -\frac{\pi}{2}\) এবং \(\beta = \frac{\pi}{2}\)।
এখন, ক্ষেত্রফল হবে:
\[
A = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos\theta)^2 d\theta
\]
আমরা জানি, \(\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\)। সুতরাং,
\[
A = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta
\]
\[
A = \frac{1}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) d\theta
\]
\[
A = \frac{1}{4} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}
\]
\[
A = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(-\pi)\right) \right]
\]
\[
A = \frac{1}{4} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{2} - 0 \right]
\]
\[
A = \frac{1}{4} \left[ \pi \right]
\]
\[
A = \frac{\pi}{4}
\]
সুতরাং, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(\frac{\pi}{4}\)। 🎉
```
