2x³+3x²-5x-6=0 সমীকরণের তিনটি মূল a,b ও c

∑a²এর মান কত? 

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: সমীকরণ \( 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6 = 0 \) এর মূল \(a, b, c\)। আমাদেরকে \(a^2 + b^2 + c^2\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

ধাপ ১: মূলের সম্পর্ক (Vieta's সূত্র)

সমীকরণটি ত্রৈমাসিক, যেখানে: \[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \] এখানে, \(a=2\), \(b=3\), \(c=-5\), \(d=-6\)। Vieta's সূত্র অনুযায়ী: \[ a + b + c = -\frac{b}{a} \] \[ ab + ac + bc = \frac{c}{a} \] \[ abc = -\frac{d}{a} \] সুতরাং: \[ a + b + c = -\frac{3}{2} \] \[ ab + ac + bc = \frac{-5}{2} \] \[ abc = -\frac{-6}{2} = 3 \]

ধাপ ২: \(a^2 + b^2 + c^2\) এর মান নির্ণয়

আমরা জানি: \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \] সুতরাং: \[ a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc) \] মূল্য স্থানান্তর করলে: \[ a^2 + b^2 + c^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 2 \times \left(-\frac{5}{2}\right) \] গণনা করি: \[ a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9}{4} + \frac{10}{2} \] এখানে, \(\frac{10}{2} = 5\), তাই: \[ a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9}{4} + 5 \] \[ = \frac{9}{4} + \frac{20}{4} = \frac{29}{4} \] অতএব, মূল \(a, b, c\) এর বর্গের যোগফল হল:

উত্তর:

\(\boxed{\frac{29}{4}}\)