ABC ত্রিভুজে BC,CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো যথাক্রমে D, E ও F হলে-

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো যথাক্রমে D, E ও F হলে-

উত্তর: \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AE} \)

সমাধান:

1. ধরা যাক, বিন্দু A, B, C এর স্থানাঙ্ক হলো যথাক্রমে \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \)।
2. এখন, D, E ও F যথাক্রমে BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু। অর্থাৎ,
   • \( \vec{D} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \)
   • \( \vec{E} = \frac{\vec{C} + \vec{A}}{2} \)
   • \( \vec{F} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \)
3. এখন, \(\vec{AD} \) এর মান হলো: \[ \overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \vec{A} \]
4. অথবা, \[ \overrightarrow{AD} = \frac{\vec{B} - 2\vec{A} + \vec{C}}{2} \]
5. অন্যদিকে, \(\overrightarrow{AF}\) ও \(\overrightarrow{AE}\) এর মান হলো: \[ \overrightarrow{AF} = \vec{F} - \vec{A} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{A} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} \] \[ \overrightarrow{AE} = \vec{E} - \vec{A} = \frac{\vec{C} + \vec{A}}{2} - \vec{A} = \frac{\vec{C} - \vec{A}}{2} \]
6. এখন, \(\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AE}\) এর মান হলো: \[ \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} + \frac{\vec{C} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{B} + \vec{C} - 2\vec{A}}{2} \]
7. অবশেষে, দেখতে পাই: \[ \overrightarrow{AD} = \frac{\vec{B} + \vec{C} - 2\vec{A}}{2} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AE} \]

???তএব, প্রমাণিত হলো যে,

\( \boxed{ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AE} } \)