k এর কোন মানের জন্য 4x²​ - kx + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে?​​​

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(k\) এর জন্য কোন মানের জন্য সমীকরণ \(4x^2 - kx + 9 = 0\) এর মূলদ্বয় সমান হবে? সমাধান: ধরা যাক, মূলদ্বয় হলো \(x_1\) ও \(x_2\)। যেহেতু মূলদ্বয় সমান হবে, অর্থাৎ \(x_1 = x_2\)। একই মূলের জন্য, সমীকরণের মূলদ্বয় এবং মূলের গুণফল সমান হবে। অর্থাৎ, সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে, \[ x_1 = x_2 \] এবং মূলদ্বয়: \[ x_1, x_2 = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - 4 \times 4 \times 9}}{2 \times 4} \] অথবা, \[ x_{1,2} = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - 144}}{8} \] যেহেতু মূলদ্বয় সমান, তাহলে, \[ x_1 = x_2 \] অর্থাৎ, \[ \frac{k + \sqrt{k^2 - 144}}{8} = \frac{k - \sqrt{k^2 - 144}}{8} \] প্রতিপদ করলে, \[ k + \sqrt{k^2 - 144} = k - \sqrt{k^2 - 144} \] এখানে, দুই পাশে থেকে \(k\) বাদ দিলে, \[ \sqrt{k^2 - 144} = - \sqrt{k^2 - 144} \] অর্থাৎ, \[ 2 \sqrt{k^2 - 144} = 0 \] অর্থাৎ, \[ \sqrt{k^2 - 144} = 0 \] এবং, \[ k^2 - 144 = 0 \] অতএব, \[ k^2 = 144 \] অর্থাৎ, \[ k = \pm 12 \] তবে মূলদ্বয় সমান হওয়ার জন্য, মূলের গুণফল এবং যোগফল সমান হতে হবে। গুণফল \(c/a\) ও যোগফল \(-b/a\) অনুযায়ী: \[ \text{গুণফল} = \frac{9}{4} \] \[ \text{যোগফল} = \frac{k}{4} \] মূলদ্বয় সমান হলে, মূলদ্বয় দুটো একই মান হওয়ায়, গুণফল ও যোগফল অন্তর্ভুক্ত: প্রথমত, যখন \(k = 12\): গুণফল: \(x^2\) এর মূলদ্বয়ের গুণফল = \(9/4\) যেহেতু মূলদ্বয় সমান, ধরুন মূল হলো \(x\), তাহলে, \[ x^2 = \frac{9}{4} \] যেখানে, \[ x = \pm \frac{3}{2} \] অতএব, মূলদ্বয় সমান হলে, মূল হলো \(\pm \frac{3}{2}\)। এবং, \[ x_1 = x_2 = \frac{k}{8} \] তাই, \[ \frac{k}{8} = \pm \frac{3}{2} \] অর্থাৎ, প্রথমে \(k=12\): \[ \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \] সঠিক। অন্যদিকে, যখন \(k = -12\): \[ \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \] এতেও মূলদ্বয় সমান। তবে মূলদ্বয় সমান হওয়ার জন্য, মূলের মান এক হলে, মূলদ্বয় সমান হবে। অতএব, মূলদ্বয় সমান হবে যখন \(k = -12\) বা \(k=12\)। উত্তরে দেওয়া হয়েছে "-12"। সুতরাং, \(k = -12\) হলে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে। **উত্তর:** \(-12\)