P^2=[[1,costheta],[costheta,1]] হলে, P=?

প্রশ্ন: \(P^2=\begin{bmatrix} 1 & \cos\theta \\ \cos\theta & 1 \end{bmatrix}\) হলে, \(P=?\)

ধরি, \(P = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)

তাহলে, \(P^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{bmatrix}\)

প্রশ্নানুসারে, \(P^2 = \begin{bmatrix} 1 & \cos\theta \\ \cos\theta & 1 \end{bmatrix}\)

সুতরাং, \(a^2+bc = 1 \), \(ab+bd = \cos\theta\), \(ac+cd = \cos\theta\), \(bc+d^2 = 1\)

এখন, \(ab+bd = \cos\theta \implies b(a+d) = \cos\theta\)
এবং \(ac+cd = \cos\theta \implies c(a+d) = \cos\theta\)

সুতরাং, \(b(a+d) = c(a+d)\)
যদি \(a+d \neq 0\) হয়, তবে \(b=c\)

তাহলে, \(a^2+b^2 = 1\) এবং \(b(a+d) = \cos\theta\)

আবার, \(b^2+d^2 = 1\)
সুতরাং, \(a^2 = d^2 \implies a = \pm d\)

যদি \(a = d\) হয়, তবে \(2ab = \cos\theta\)
\(a^2 + b^2 = 1\)
\(a = \pm \sqrt{1-b^2}\)
\(2b\sqrt{1-b^2} = \cos\theta\) অথবা \(-2b\sqrt{1-b^2} = \cos\theta\)

\(4b^2(1-b^2) = \cos^2\theta\)
\(4b^2 - 4b^4 = \cos^2\theta\)
\(4b^4 - 4b^2 + \cos^2\theta = 0\)
\(b^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16-16\cos^2\theta}}{8} = \frac{1 \pm \sin\theta}{2}\)
\(b = \pm \sqrt{\frac{1 \pm \sin\theta}{2}}\)

অতএব, \(P\) এর মান নির্ণয় করা জটিল।

বিকল্প উত্তরটি বিবেচনা করি:

যদি \(P = \begin{bmatrix} \sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta \end{bmatrix}\) হয়,
তাহলে \(P^2 = \begin{bmatrix} \sin^2\theta & 0 \\ 0 & \sin^2\theta \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 1 & \cos\theta \\ \cos\theta & 1 \end{bmatrix}\)

যদি \(P = \begin{bmatrix} \pm \sin\theta & 0 \\ 0 & \pm \sin\theta \end{bmatrix}\) হয়,
তাহলে \(P^2 = \begin{bmatrix} \sin^2\theta & 0 \\ 0 & \sin^2\theta \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 1 & \cos\theta \\ \cos\theta & 1 \end{bmatrix}\)

🤔 প্রদত্ত উত্তরটি সঠিক নয়। 🤔 আরও তথ্যের প্রয়োজন।