l দৈর্ঘ্য ও r ব্যাসার্ধের একটি তারের উপাদানের ইয়ং এর গুণাঙ্ক Y। তাদের দৈর্ঘ্য l/2 এবং ব্যাসার্ধ r/2 করা হলে ইয়ং এর গুণাঙ্ক কত হবে?

প্রথমে ধরে নিই, একটি তারের দৈর্ঘ্য \( l \) এবং ব্যাসার্ধ \( r \)। তারের Young's modulus \( Y \) এর জন্য মূল সূত্র হলো:

\[ Y = \frac{\text{টান} \times \text{দৈর্ঘ্য}}{\text{ক্ষেত্রফল} \times \text{স্ট্রেস}} \]

যেখানে, ক্ষেত্রফল \( A = \pi r^2 \)।

এখন, তারের দৈর্ঘ্য \( l/2 \) এবং ব্যাসার্ধ \( r/2 \) করা হলে, নতুন ক্ষেত্রফল হবে:

\[ A' = \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \pi \frac{r^2}{4} = \frac{A}{4} \]

এবং, ন???ুন দৈর্ঘ্য \( l' = \frac{l}{2} \)।

পরীক্ষামূলকভাবে, Young's modulus এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি স্ট্রেস এবং স্ট্রেইন একই হয়, তবে:

• স্ট্রেস পরিবর্তিত হয় না।
• স্ট্রেইন পরিবর্তিত হয় না।

তবে, প্রকৃতিতে, Young's modulus এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের জন্য Young's modulus এর মান পরিবর্তিত হয় না।

তবে, প্রশ্নে যদি বলা হয় যে, নতুন দৈর্ঘ্য ও ব্যাসার্ধের জন্য Young's modulus কত হবে, তাহলে পরিস্থিতি হলো:

• দৈর্ঘ্য \( l' = \frac{l}{2} \)
• ক্ষেত্রফল \( A' = \frac{A}{4} \)

যেহেতু Young's modulus নির্ণয়ে, এটি মূলত ক্ষয় বা স্থিতিস্থাপকতা নির্দেশ করে, তাই দৈর্ঘ্য ও ব্যাসার্ধের পরিবর্তনে Y এর মান পরিবর্তিত হবে।

মূল সূত্র থেকে দেখা যায়, যেহেতু ক্ষেত্রফল ও দৈর্ঘ্য পরিবর্তিত হচ্ছে, তাহলে নতুন Young's modulus হবে:

\[ Y' = \frac{\text{টান} \times l'}{A' \times \text{স্ট্রেস}} \]

মূল Y এর জন্য, টান ও স্ট্রেস অপরিবর্তিত থাকলে,

Y' / Y = \(\frac{l'/l}{A'/A}\) = \(\frac{\frac{l}{2}}{l} \div \frac{\frac{A}{4}}{A}\) = \(\frac{1/2}{1/4}\) = 2

অর্থাৎ, নতুন Young's modulus হবে:

\[ Y' = 2Y \]

সুতরাং, যখন তারের দৈর্ঘ্য \( l/2 \) এবং ব্যাসার্ধ \( r/2 \) হয়, তখন তারের Young's modulus হবে **"2Y"**।