একটি কণা আনুভূমিক তলের সঙ্গে θ কোণে a বেগ সহকারে প্রক্ষেপ করা হলো। আনুভূমিক তল থেকে কণাটির সর্বাধিক উচ্চতা কত হবে?(মধ্যাকর্ষণজনিত ত্বরণ g=9.8 ms-2)

Another Explanation (5):

সমাধান:

ধরি, কণাটির প্রাথমিক গতি হল \(u\), যার অভিমুখ আনুভূমিক কোণে \(\theta\)।

প্রাথমিক গতি উপাদান:

• আনুভূমিক উপাদান: \(u_x = u \cos \theta\)
• উচ্চতার উপাদান: \(u_y = u \sin \theta\)

এখন, কণাটির সর্বোচ্চ উচ্চতা \(H\) নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে আমাদের জানা দরকার, গতি কতটি ছিল।

প্রাথমিক গতি নির্ণয়:

প্রক্ষেপণের সময়ের সর্বোচ্চ উচ্চতায়, কণাটির উল্লম্ব গতির গুণিতক হবে 0।

উল্লম্ব গতি: \(u_y = u \sin \theta\)

উচ্চতার সর্বোচ্চ বিন্দুতে, গতি শূন্য হবে, অর্থাৎ:

\[ v_y = u_y - g t_{max} = 0 \] অর্থাৎ: \[ t_{max} = \frac{u \sin \theta}{g} \]

সর্বোচ্চ উচ্চতা:

উচ্চতা নির্ণয় করতে, আমরা জানি:

\[ H = u_y t_{max} - \frac{1}{2} g t_{max}^2 \] উপাদান বসিয়ে: \[ H = u \sin \theta \times \frac{u \sin \theta}{g} - \frac{1}{2} g \left(\frac{u \sin \theta}{g}\right)^2 \] সরলীকরণ: \[ H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{g} - \frac{1}{2} g \times \frac{u^2 \sin^2 \theta}{g^2} \] \[ H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{g} - \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \] একসাথে: \[ H = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) \frac{u^2 \sin^2 \theta}{g} = \frac{1}{2} \frac{u^2 \sin^2 \theta}{g} \]

প্রাথমিক গতি \(u\) নির্ণয়:

প্রক্ষেপণের দূরত্ব \(R\) এর জন্য: \[ R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} \] এখানে, \(u^2 = \frac{g R}{\sin 2\theta}\)

সর্বোচ্চ উচ্চতা:

তাহলে: \[ H = \frac{1}{2} \times \frac{g R}{\sin 2\theta} \times \frac{\sin^2 \theta}{g} = \frac{R \sin^2 \theta}{2 \sin 2\theta} \] এখানে, সাধারণত, সর্বোচ্চ উচ্চতা নির্ণয় করতে বলা হয়, যেখানে \(R\) এর মান নির্ণয় করা হয়নি। যদি, প্রশ্নে \(a\) দিয়ে দে়য়া থাকে, তবে সেটি প্রক্ষেপণের দূরত্বের জন্য ধরা হয়। সেক্ষেত্রে, সর্বোচ্চ উচ্চতা হবে: \[ H_{max} = \frac{a^2 \sin 2\theta}{2g} \]