int_1^e dx/(x(1+lnx)^2) এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( \int_1^e \frac{dx}{x(1+\ln x)^2} \) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, \( 1 + \ln x = z \) তাহলে, \( \frac{1}{x} dx = dz \) এখন, যখন \( x = 1 \), তখন \( z = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1 \) এবং যখন \( x = e \), তখন \( z = 1 + \ln e = 1 + 1 = 2 \) সুতরাং, আমাদের সমাকলটি হবে: \( \int_1^2 \frac{dz}{z^2} \) \( = \int_1^2 z^{-2} dz \) \( = \left[ \frac{z^{-1}}{-1} \right]_1^2 \) \( = \left[ -\frac{1}{z} \right]_1^2 \) \( = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{1}) \) \( = -\frac{1}{2} + 1 \) \( = \frac{1}{2} \) 🎉 অতএব, \( \int_1^e \frac{dx}{x(1+\ln x)^2} = \frac{1}{2} \) ```