(-1,1) বিন্দুগামী একটি বক্ররেখার ঢালের সমীকরণ y=∛x-1; বক্ররেখাটির সমীকরণ কোনটি?

Explanation: Solve: চলকের সমীকরণ \( = \sqrt[3]{x - 1} \) \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^3 - 1} \implies dy = \frac{1}{x^3 - 1} dx\) \(\implies \int dy = \int \frac{1}{x^3 - 1} dx \implies y = \frac{x^3}{4} - x + c = \frac{3}{4}x^3 - x + c\) ইহা \((-1, 1)\) বিন্দুগামী \(\therefore 1 = \frac{3}{4} \cdot 1 + c \implies c = -\frac{3}{4}\) \(\therefore\) বক্ররেখাটি, \( y = \frac{3}{4}x^3 - x - \frac{3}{4} \)

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: বক্ররেখার সমীকরণ নির্ণয়

একটি বক্ররেখা (-1,1) বিন্দুগামী এবং এর ঢালের সমীকরণ \( \frac{dy}{dx} = \sqrt[3]{x} - 1 \)। বক্ররেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। 🤔

সমাধান:

1. ঢালের সমীকরণ থেকে y নির্ণয়: \( \frac{dy}{dx} = \sqrt[3]{x} - 1 \) উভয় পক্ষে ইন্টিগ্রেশন করে, \[ y = \int (\sqrt[3]{x} - 1) dx = \int (x^{\frac{1}{3}} - 1) dx \] \[ y = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} - x + C = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - x + C \] এখানে C হল ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক।
2. C এর মান নির্ণয়: বক্ররেখাটি (-1,1) বিন্দুগামী। সুতরাং, x = -1 এবং y = 1 বসিয়ে পাই, \[ 1 = \frac{3}{4}(-1)^{\frac{4}{3}} - (-1) + C \] \[ 1 = \frac{3}{4}(1) + 1 + C \] \[ C = 1 - \frac{3}{4} - 1 = -\frac{3}{4} \]
3. বক্ররেখার সমীকরণ: C এর মান বসিয়ে পাই, \[ y = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - x - \frac{3}{4} \]

অতএব, বক্ররেখাটির সমীকরণ \( y = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - x - \frac{3}{4} \)। 🎉

কিন্তু উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য সম্ভবত প্রশ্নপত্রে \(\sqrt[3]{x-1}\) এর পরিবর্তে \(\sqrt[3]{x}-1\) হবে। সেক্ষেত্রে, প্রদত্ত উত্তরটি সঠিক। অন্যথায়, উপরের উত্তরটি সঠিক।

```