\( \tan 15^\circ \) এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \tan 15^\circ \) এর মান কত?

উত্তর: \( 2 - \sqrt{3} \)

সমাধান:

আমরা জানি,

\( \tan (45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} \)

এবং,

• \( \tan 45^\circ = 1 \)
• \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

অতএব,

\[ \begin{aligned} \tan 15^\circ &= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} \\ &= \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} \\ &= \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} \\ &= \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \end{aligned} \]

এখন, এই ভগ্নাংশের সরলীকরণ করি:

\[ \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \]

উপরের তুল্য:

\[ \frac{(\sqrt{3})^2 - 2 \times \sqrt{3} \times 1 + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2 \sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{2} \]

অতএব,

\[ \tan 15^\circ = \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]

সুতরাং,

\( \boxed{\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}} \)