মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা কোন বিন্দুতে \( y = e^x \) বক্ররেখার স্পর্শক হবে?

Explanation: Hints: \((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ: \((y - y_1) = \frac{dy}{dx}(x - x_1)\) Solve: \( y = e^x \) বক্ররেখার ঢাল, \(\frac{dy}{dx} = e^x \) মূলগত অর্থে, \((0, 0)\) বিন্দুগামী কোনো সরলরেখার সমীকরণ: \((y - 0) = m(x - 0) \implies y = mx\) এখানে, \( m = \text{ঢাল} = e^x \) \(\therefore\) স্পর্শকীয় সমীকরণ: \( y = e^x \) এখন, বক্ররেখার সমীকরণ: \( y = e^x \) সমীকরণগুলোকে সমাধান করে পাই, \( e^x = e^x \cdot x \implies x = 1 \) \(\therefore\) নির্দেশক বিন্দু \( (1, e) \) Ans. (D)

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা কোন বিন্দুতে \( y = e^x \) বক্ররেখার স্পর্শক হবে?

সমাধান:

ধরি, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে \( y = e^x \) বক্ররেখার স্পর্শক মূলবিন্দুগামী। যেহেতু \( (x_1, y_1) \) বিন্দুটি \( y = e^x \) বক্ররেখার উপর অবস্থিত, তাই \( y_1 = e^{x_1} \) হবে। এখন, \( y = e^x \) সমীকরণের \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তর differentiation করি। \( \frac{dy}{dx} = e^x \) সুতরাং, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( m = e^{x_1} \) অতএব, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: \( y - y_1 = m(x - x_1) \) \( \implies y - e^{x_1} = e^{x_1}(x - x_1) \) যেহেতু স্পর্শকটি মূলবিন্দুগামী, তাই \( (0, 0) \) বিন্দুটি স্পর্শকের সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। \( 0 - e^{x_1} = e^{x_1}(0 - x_1) \) \( \implies -e^{x_1} = -x_1 e^{x_1} \) \( \implies 1 = x_1 \) (উভয় পক্ষে \( -e^{x_1} \) দিয়ে ভাগ করে) সুতরাং, \( x_1 = 1 \) এখন, \( y_1 = e^{x_1} = e^1 = e \) অতএব, নির্ণেয় বিন্দুটি হলো \( (1, e) \) 🥳। ```