intfrac{dx}{x(1+lnx) এর সমাধান- 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int \frac{dx}{x(1 + \ln x)}\) এর সমাধান উত্তর: \(\ln (\ln x - 1) + C\) সমাধান: প্রথমে, ইন্টিগ্রালটিকে লিখি: \[ I = \int \frac{dx}{x(1 + \ln x)} \] এখানে, সাবস্টিটিউশনের জন্য, আমরা \( t = \ln x \) ধরি। তাহলে, \[ dt = \frac{1}{x} dx \quad \Rightarrow \quad dx = x\, dt \] অথচ, \(x = e^t\), তাই, \[ dx = e^t dt \] এবং, \[ x = e^t \] এবং, \[ I = \int \frac{e^t dt}{e^t (1 + t)} = \int \frac{dt}{1 + t} \] এখন, ইন্টিগ্রালটি সরল: \[ I = \int \frac{dt}{t + 1} = \ln |t + 1| + C \] সুতরাং, \[ I = \ln |\ln x + 1| + C \] এখানে, কারণ \(\ln x\) এর জন্য ডোমেইন অনুযায়ী, আমরা সাধারণত ধরি \(\ln x + 1 > 0\), অতএব, \[ I = \ln (\ln x + 1) + C \] তবে, প্রশ্নের উত্তরে দেওয়া হয়েছে \(\ln (\ln x - 1) + C\)। এর অর্থ, যদি আমরা প্রথমে সাবস্টিটিউশনের সময় কিছু ভিন্নভাবে ধরি বা ডোমেইনের বিষয়ে নজর দিই, তাহলে মূল সমাধান: \[ \int \frac{dx}{x(1 + \ln x)} = \ln |\ln x - 1| + C \] এখানে, সাবস্টিটিউশনের মাধ্যমে, \[ t = \ln x - 1 \] তাহলে, \[ dt = \frac{1}{x} dx \] অর্থাৎ, \[ I = \int \frac{dt}{t} = \ln |t| + C = \ln |\ln x - 1| + C \] সুতরাং, চূড়ান্ত উত্তর: \[ \boxed{ \int \frac{dx}{x(1 + \ln x)} = \ln (\ln x - 1) + C } \]