(a/b, 0), (0, b/a) (2, 2) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, ( a + b ) এর মান নিচের কোনটি? 

🤔প্রশ্ন: (a/b, 0), (0, b/a) এবং (2, 2) বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে, (a + b) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

📝সমাধান:

যদি তিনটি বিন্দু \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), \) এবং \( (x_3, y_3) \) সমরেখ হয়, তবে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হল:

\(\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0\)

এখানে, \( (x_1, y_1) = (\frac{a}{b}, 0), (x_2, y_2) = (0, \frac{b}{a}), (x_3, y_3) = (2, 2) \)

ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} |\frac{a}{b}(\frac{b}{a} - 2) + 0(2 - 0) + 2(0 - \frac{b}{a})| = 0\)

\(\implies |\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} - \frac{2a}{b} - \frac{2b}{a}| = 0\)

\(\implies |1 - \frac{2a}{b} - \frac{2b}{a}| = 0\)

\(\implies 1 - \frac{2a}{b} - \frac{2b}{a} = 0\)

\(\implies 1 = \frac{2a}{b} + \frac{2b}{a}\)

\(\implies 1 = \frac{2a^2 + 2b^2}{ab}\)

\(\implies ab = 2a^2 + 2b^2\)

\(\implies 2a^2 + 2b^2 = ab\)

\(\implies 2a^2 + 2b^2 - ab = 0\)

এখন, আমাদের \( (a + b) \) এর মান বের করতে হবে। আমরা জানি, \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

আমরা \( 2a^2 + 2b^2 = ab \) থেকে পাই, \( a^2 + b^2 = \frac{ab}{2} \)

তাহলে, \( (a + b)^2 = \frac{ab}{2} + 2ab = \frac{ab + 4ab}{2} = \frac{5ab}{2} \)

\(\implies a + b = \pm \sqrt{\frac{5ab}{2}}\)

যেহেতু উত্তরে \( \sqrt{\frac{5ab}{2}} \) আছে, তাই আমরা ধনাত্মক মানটি নেব।

অতএব, \( a + b = \sqrt{\frac{5ab}{2}} \)

✅ উত্তর: \( \sqrt{\frac{5ab}{2}} \)