X এর কোন মানের জন্য (1, -x), (1, x) এবং (x² ,-1) বিন্দু তিনটি একই সরল রেখায় অবস্থান করবে?

🤔প্রশ্ন: X এর কোন মানের জন্য (1, -x), (1, x) এবং (x² ,-1) বিন্দু তিনটি একই সরল রেখায় অবস্থান করবে?

💡উত্তর: -1, 0, 1

📏সমাধান:

যদি তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় থাকে, তবে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।

ধরি, বিন্দুগুলো A(1, -x), B(1, x) এবং C(x² , -1).

ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল:

\(\frac{1}{2} | (x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)) |\)

এখানে, \(x_1 = 1, y_1 = -x\), \(x_2 = 1, y_2 = x\), \(x_3 = x^2, y_3 = -1\)

ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} | (1(x - (-1)) + 1(-1 - (-x)) + x^2(-x - x)) |\)

= \(\frac{1}{2} | (x + 1 - 1 + x - 2x^3) |\)

= \(\frac{1}{2} | (2x - 2x^3) |\)

= \(| x - x^3 |\)

যেহেতু বিন্দুগুলো একই সরলরেখায় অবস্থিত, ক্ষেত্রফল = 0

\(\therefore | x - x^3 | = 0\)

\(\implies x - x^3 = 0\)

\(\implies x(1 - x^2) = 0\)

\(\implies x(1 - x)(1 + x) = 0\)

\(\therefore x = 0, 1, -1\)

সুতরাং, x এর মান -1, 0, 1 এর জন্য বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থান করবে। 🎉