\( (2,-1), (a+1,a-3) \) ও \( (a+2, a) \) বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে a এর মান-

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: তিনটি বিন্দু
\(A(2, -1)\), \(B(a+1, a-3)\), এবং \(C(a+2, a)\) সমরেখে রয়েছে। তাহলে, \(a\) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

তিনটি বিন্দু সমরেখে থাকলে, তাদের মধ্যবর্তী দুটি বিন্দুর বিভাজক সমান হবে। অর্থাৎ, বিন্দু \(A\) এবং \(B\) এর মধ্যে দ্রাঘিমাংশ ও অক্ষাংশের সাথে বিন্দু \(A\) ও \(C\) এর মধ্যে দ্রাঘিমাংশ ও অক্ষাংশের অনুপাত সমান হবে।

প্রথমে, \(A(2, -1)\), \(B(a+1, a-3)\) ও \(C(a+2, a)\) এর মধ্যবর্তী দ্রাঘিমাংশ ও অক্ষাংশের অনুপাত নির্ণয় করি।

অক্ষাংশের অনুপাত:

\[ \frac{a - (-1)}{a+2 - 2} = \frac{a+1}{a} \]

দ্রাঘিমাংশের অনুপাত:

\[ \frac{(a-3) - (-1)}{(a+1) - 2} = \frac{a - 2}{a - 1} \]

1. তাদের সমান রাখি:

\[ \frac{a+1}{a} = \frac{a - 2}{a - 1} \]

2. ক্রস মাল্টিপ্লাই করে সমীকরণ সমাধান করি:

\[ (a+1)(a - 1) = a (a - 2) \]

\[
a^2 - 1 = a^2 - 2a
\]

3. সরলীকরণ করি:

\[ a^2 - 1 = a^2 - 2a \] উভয় পাশ থেকে \(a^2\) বাদ দিলে: \[ -1 = -2a \] অতএব, \[ 2a = 1 \] অতএব, \[ a = \frac{1}{2} \] **উত্তর: \(\boxed{\frac{1}{2}}\)**