∫_0^oo(e^-x)/(1+e^-x) dx এর মান হবে?

আমরা \( \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx \) এর মান নির্ণয় করব।

ধরি, \( u = e^{-x} \), তাহলে \( du = -e^{-x} dx \)। সুতরাং, \( dx = -\frac{du}{e^{-x}} = -\frac{du}{u} \)।

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = e^{-0} = 1 \)।

যখন \( x \to \infty \), তখন \( u = e^{-\infty} = 0 \)।

অতএব, সমাকলনটি হবে:

\( \int_1^0 \frac{u}{1+u} \left( -\frac{du}{u} \right) = -\int_1^0 \frac{1}{1+u} du = \int_0^1 \frac{1}{1+u} du \)

আমরা জানি, \( \int \frac{1}{1+u} du = \ln|1+u| + C \)।

সুতরাং, \( \int_0^1 \frac{1}{1+u} du = \left[ \ln|1+u| \right]_0^1 = \ln|1+1| - \ln|1+0| = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2 \).

সুতরাং, \( \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx = \ln 2 \)。🎉