P, Q, R বল তিনটি যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC, CA, AB বাহু বরাবর ক্রিয়া করে। তাদের লব্ধি ক্রিয়ারেখা পরিকেন্দ্র দিয়ে গেলে কোন শর্তটি সঠিক হবে? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন অনুযায়ী, P, Q, R বলগুলো যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC, CA, AB বাহু বরাবর ক্রিয়া করে। এদের লব্ধি ক্রিয়ারেখা পরিকেন্দ্র দিয়ে গেলে কোন শর্তটি সঠিক হবে তা নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি: - বলগুলো যথাক্রমে BC, CA, AB বাহু বরাবর ক্রিয়া করে। - এই বলগুলো লব্ধি ক্রিয়ারেখা দ্বারা পরিকেন্দ্র দিয়ে গেলে, অর্থাৎ, এই বলগুলো পরিকেন্দ্রের সাথে সমান্তরাল বা একত্র থাকে। প্রথমে, বলের ক্রিয়া শক্তির সমীকরণটি নির্ণয় করি। প্রতিটি বাহুর জন্য, বলের জন্য লম্বভাবে ক্রিয়া করে, এবং বাহুর বাহুর লম্ব দিকের শক্তি নির্ণয় করতে পারি: - বল P বাহু BC বরাবর, অর্থাৎ, BC এর লম্ব দিকের জন্য, বলের প্রকৃতি হলো: \( P \) এর দিক BC এর সাথে সমান্তরাল। - বল Q বাহু CA বরাবর, অর্থাৎ, \( Q \) এর দিক CA এর সাথে সমান্তরাল। - বল R বাহু AB বরাবর, অর্থাৎ, \( R \) এর দিক AB এর সাথে সমান্তরাল। এখন, এই বলগুলো যদি লব্ধি ক্রিয়ারেখা দ্বারা পরিকেন্দ্র দিয়ে যায়, তাহলে এই বলগুলো পরিকেন্দ্রের সাথে সমান্তরাল বা একত্র হবে। এটি বোঝাতে পারি, যে, বলগুলোর লম্বীয় দিকগুলোর যোগফল শূন্যের সমান হবে যদি তারা পরিকেন্দ্রের সাথে সমান্তরাল হয়। অর্থাৎ, \[ P \vec{u}_a + Q \vec{u}_b + R \vec{u}_c = 0 \] এখানে, \(\vec{u}_a, \vec{u}_b, \vec{u}_c\) হল বাহু বাহুর ইউনিট ভেক্টর। আমরা জানি: \[ \vec{u}_a = \cos B \, \hat{i} + \sin B \, \hat{j} \] \[ \vec{u}_b = \cos C \, \hat{i} + \sin C \, \hat{j} \] \[ \vec{u}_c = \cos A \, \hat{i} + \sin A \, \hat{j} \] অথবা, সাধারণত ত্রিভুজের কোণের মধ্যে সম্পর্ক অনুযায়ী, সেই ভেক্টরগুলোর যোগফল যদি শূন্য হয়, তাহলে, \[ P \cos A + Q \cos B + R \cos C = 0 \] এটি হচ্ছে মূল শর্ত। অতএব, এই শর্তটি সঠিক হবে, যদি বলগুলো লব্ধি ক্রিয়ারেখা দ্বারা পরিকেন্দ্র দিয়ে যায়।

উত্তর:

প্রশ্নের সঠিক শর্তটি হলো:

"P cosA + Q cosB + R cosC = 0"