If in a triangle,(1-r_1/r_2)(1-r_1/r_3) =2 denote the radit of the escribed circles opposite to the angles A, B and C respectively), then the triangle is-

দেওয়া আছে, \( \left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)\left(1-\frac{r_1}{r_3}\right) = 2 \)

আমরা জানি, \( r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c} \) যেখানে \( \Delta \) হল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবং \( s \) হল অর্ধ-পরিসীমা।

সুতরাং, \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{s-b}{s-a} \) এবং \( \frac{r_1}{r_3} = \frac{s-c}{s-a} \)

অতএব, \( \left(1-\frac{s-b}{s-a}\right)\left(1-\frac{s-c}{s-a}\right) = 2 \)

বা, \( \left(\frac{s-a-s+b}{s-a}\right)\left(\frac{s-a-s+c}{s-a}\right) = 2 \)

বা, \( \left(\frac{b-a}{s-a}\right)\left(\frac{c-a}{s-a}\right) = 2 \)

বা, \( (b-a)(c-a) = 2(s-a)^2 \)

আমরা জানি, \( s = \frac{a+b+c}{2} \), সুতরাং \( s-a = \frac{b+c-a}{2} \)

অতএব, \( (b-a)(c-a) = 2\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2 \)

বা, \( (b-a)(c-a) = \frac{1}{2}(b+c-a)^2 \)

বা, \( 2(bc - ab - ac + a^2) = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ac \)

বা, \( 2bc - 2ab - 2ac + 2a^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ac \)

বা, \( a^2 = b^2 + c^2 \)

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, যদি \( a^2 = b^2 + c^2 \) হয়, তবে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। 😇

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী। ✅