cot^-1x এর রেঞ্জ কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\cot^{-1} x\) এর রেঞ্জ কত? উত্তর: \((0, \pi)\) সাধারণত, \(\cot^{-1} x\) বা আরকোট্যানজেন্ট ফাংশনের রেঞ্জ নির্ধারণ করতে গেলে আমরা এই ফাংশনের ডিফাইনিশন ও এর ইনভার্স ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলো বিবেচনা করব। 1. **কোন ফাংশনের ইনভার্সের রেঞ্জ নির্ধারণের পদ্ধতি:** একটি ইনভার্স ফাংশনের রেঞ্জ সাধারণত সেই সেট যেখানে ইনভার্স ফাংশন মান গ্রহণ করে। যদি মূল ফাংশনের ডোমেইন নির্দিষ্ট থাকে, তবে তার ইনভার্সের রেঞ্জ সেই ডোমেইনের উপর ভিত্তি করে নির্ধারিত হয়। 2. **\(\cot x\) এর ডোমেইন ও রেঞ্জ:** \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\) - ডোমেইন: \(x \in (0, \pi)\), কারণ এই সময়ে \(\sin x \neq 0\) এবং \(\cot x\) ডিফাইনেড। - রেঞ্জ: \(\cot x\) এর মানগুলো \(\mathbb{R}\), কারণ \(\cot x\) ধ্রুবক নয় এবং এর মান \(\pm \infty\) পর্যন্ত যায়। 3. **অর্থাৎ:** \(\cot x\) এর জন্য রেঞ্জ হলো \(\mathbb{R}\), অর্থাৎ \(-\infty\) থেকে \(\infty\) পর্যন্ত। 4. **Inversion:** \(\cot^{-1} x\) মানে সেই কোণ \(\theta\), যেখানে \(\cot \theta = x\) এবং \(\theta \in (0, \pi)\)। উপসংহার: - যেহেতু \(\cot x\) এর ডোমেইন হলো \((0, \pi)\), এবং \\(\cot x\) এর মান সব রকমের real সংখ্যা, তাই \(\cot^{-1} x\) এর জন্য রেঞ্জ হবে সেই সেট যেখানে \(\cot^{-1} x\) নির্ভর করে। - সাধারণত, \(\cot^{-1} x\) এর রেঞ্জ নির্ধারিত হয় \((0, \pi)\), কারণ: - যখন \(x \to -\infty\), \(\cot^{-1} x \to \pi\) (অ্যাপ্রক্সিমেটলি, তবে আউটপুট মান কখনোই \(\pi\) হয় না, তবে কাছাকাছি হয়) - যখন \(x \to \infty\), \(\cot^{-1} x \to 0\) সুতরাং, \[ \boxed{ \text{Range of } \cot^{-1} x = (0, \pi) } \]