int_0^(pi/2) (cosx)/(4-sinx)dx

প্রশ্ন: \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{4-\sin x} dx \)

সমাধান:

ধরি, \(u = 4 - \sin x\)
সুতরাং, \(du = -\cos x dx\)
সুতরাং, \(\cos x dx = -du\)

এখন, যখন \(x = 0\), \(u = 4 - \sin 0 = 4 - 0 = 4\)
যখন \(x = \frac{\pi}{2}\), \(u = 4 - \sin \frac{\pi}{2} = 4 - 1 = 3\)

অতএব, সমাকলনটি হবে:

\(\int_4^3 \frac{-du}{u} = - \int_4^3 \frac{1}{u} du = \int_3^4 \frac{1}{u} du\)
\( = [\ln |u|]_3^4 = \ln |4| - \ln |3| = \ln 4 - \ln 3 = \ln \frac{4}{3}\)

সুতরাং, \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{4 - \sin x} dx = \ln \frac{4}{3}\) 😃

কিন্তু উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য, যদি উত্তর "nan" হয়, তবে সম্ভবত প্রশ্নটিতে ত্রুটি আছে অথবা উত্তরের বিন্যাসে সমস্যা রয়েছে। 🤔

যদি প্রশ্নটি সঠিক হয়, তবে সঠিক উত্তর \(\ln \frac{4}{3}\) হবে। 🎉