int_0^1(xdx)/(1+x^4)=A হলে, A এর মান কত? 

প্রশ্ন: \( \int_0^1 \frac{x \, dx}{1+x^4} = A \) হলে, \( A \) এর মান কত?

সমাধান:

ধরি, \( x^2 = t \)
সুতরাং, \( 2x \, dx = dt \)
বা, \( x \, dx = \frac{1}{2} dt \)

যখন \( x = 0 \), তখন \( t = 0^2 = 0 \)
যখন \( x = 1 \), তখন \( t = 1^2 = 1 \)

অতএব, \( A = \int_0^1 \frac{x \, dx}{1+x^4} = \int_0^1 \frac{\frac{1}{2} dt}{1+t^2} = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} \)

আমরা জানি, \( \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}(x) + C \)
সুতরাং, \( \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} = \left[ \tan^{-1}(t) \right]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) \)

আমরা জানি, \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \) এবং \( \tan^{-1}(0) = 0 \)
সুতরাং, \( \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \)

অতএব, \( A = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} \)

সুতরাং, \( A = \frac{\pi}{8} \) 🥳