A=[(1,-3),(2,4)] হলে-

1. |A| =10
2. |A| এর (2,1) তম সহগুণক =3
3. A^-1= -1/2[(4,-3),(2,4)] 

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া ম্যাট্রিক্স \(A = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\) প্রথমে, আমরা এই ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট (|A|) হিসাব করব। \[ |A| = (1)(4) - (-3)(2) = 4 + 6 = 10 \] অর্থাৎ, প্রথম বিবৃতি সঠিক:

|A| = 10

--- দ্বিতীয় বিবৃতি: |A| এর (2,1) তম সহগুণক = 3 সহগুণক (cofactor) হিসাব করতে: \[ C_{ij} = (-1)^{i+j} \times M_{ij} \] এখানে, \(M_{ij}\) হলো ম্যাট্রিক্সের সেই উপাদান বাদ দিয়ে অবশিষ্ট উপাদানগুলোর ডিটারমিন্যান্ট। (2,1) উপাদানের সহগুণক: \[ C_{21} = (-1)^{2+1} \times M_{21} \] \[ M_{21} = \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ \end{bmatrix} \] অর্থাৎ, \(M_{21}\) হল উপাদানগুলি বাদ দিয়ে গঠিত 1x1 ম্যাট্রিক্স, যা: \[ M_{21} = \begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix} \] এবং এর ডিটারমিন্যান্ট: \[ |M_{21}| = -3 \] সুতরাং, \[ C_{21} = (-1)^{3} \times (-3) = -1 \times -3 = 3 \] অর্থাৎ, সহগুণক (cofactor) (2,1) তম উপাদান হলো 3। দ্বিতীয় বিবৃতি সঠিক। --- তৃতীয় বিবৃতি: \[ A^{-1} = -\frac{1}{2} \times \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \] সাধারনত, ইনভার্স ম্যাট্রিক্সের ফরমুলা: \[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{adj}(A) \] অথবা, \[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{cofactor matrix}^T \] উপরে, \(\text{adj}(A) = \text{cofactor matrix}^T\) চলুন, কফেক্টার ম্যাট্রিক্স বের করি: \[ \text{cofactor matrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} \] প্রতিটি উপাদানের জন্য: \[ C_{11} = (+1) \times |M_{11}|, \quad M_{11} = \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix} \Rightarrow |M_{11}|=4 \] \[ C_{11} = 4 \] \[ C_{12} = (-1)^{1+2} \times |M_{12}|, \quad M_{12} = \begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix} \Rightarrow |M_{12}|=2 \] \[ C_{12} = -1 \times 2 = -2 \] \[ C_{21} = (-1)^{2+1} \times |M_{21}|, \quad M_{21} = \begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix} \Rightarrow |M_{21}| = -3 \] \[ C_{21} = -1 \times -3 = 3 \] \[ C_{22} = (+1) \times |M_{22}|, \quad M_{22} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \Rightarrow |M_{22}|=1 \] \[ C_{22} = 1 \] অতএব, কফেক্টার ম্যাট্রিক্স: \[ \text{cofactor matrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \] অ্যাজুকের জন্য, \[ \text{adj}(A) = \text{cofactor matrix}^T = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \] তাই, \[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{adj}(A) = \frac{1}{10} \times \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \] অর্থাৎ, \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{10} & \frac{3}{10} \\ -\frac{2}{10} & \frac{1}{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.4 & 0.3 \\ -0.2 & 0.1 \end{bmatrix} \] তবে, প্রশ্নে দেওয়া: \[ A^{-1} = -\frac{1}{2} \times \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & \frac{3}{2} \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \] এটি আসলে ভুল, কারণ এর মান আসল ইনভার্সের সাথে মেলে না। সুতরাং, তৃতীয় বিবৃতি ভুল। --- **উপসংহার:** সঠিক বিবৃতি হলো: **i এবং ii**। অর্থাৎ, উত্তর: **"i & ii"** --- **HTML আকারে সম্পূর্ণ সমাধান:** ```html

প্রথমে, আমাদের ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি:

|A| = (1)(4) - (-3)(2) = 4 + 6 = 10

অতএব, প্রথম বিবৃতি সঠিক: |A| = 10

অন্যদিকে, সহগুণক গণনা করি:

C_{21} = (-1)^{2+1} × M_{21}
M_{21} = উপাদান বাদ দিয়ে অবশিষ্ট উপাদান, যা:
M_{21} = [-3]
|M_{21}|= -3
C_{21} = -1 × -3 = 3

অতএব, দ্বিতীয় বিবৃতি সঠিক।

তৃতীয় বিবৃতি যাচাই করি:

A^{-1} = (1/|A|) × adj(A)
প্রথম, কফেক্টার ম্যাট্রিক্স হিসাব করি:
C_{11} = +1 × |4| = 4
C_{12} = -1 × |2| = -2
C_{21} = -1 × |-3| = -1 × 3 = -3
C_{22} = +1 × |1|=1
কফেক্টার ম্যাট্রিক্স:
= [[4, -2], [-3, 1]]
adj(A) = transpose:
= [[4, -3], [-2, 1]]
অতএব,
A^{-1} = (1/10) × [[4, -3], [-2, 1]] = [[0.4, -0.3], [-0.2, 0.1]]

প্রদানকৃত: -1/2 × [ [4, -3], [2, 4] ] এর মান আলাদা, এবং আসল ইনভার্সের সাথে মেলে না। তাই, তৃতীয় বিবৃতি ভুল।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো: i & ii

```