একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (2,3) \) এবং \( x+y-2=0 \) রেখাকে স্পর্শ করে?

প্রশ্নের সমাধান:

1. বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ ধরব: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] এখানে, \( h = 2 \), \( k = 3 \)।

   বৃত্তের সমীকরণ:
   \[
   (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = r^2
   \]
   

2. বৃত্তের কেন্দ্রের থেকে রেখার দূরত্ব: \[ d = \frac{|A h + B k + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] রেখার সমীকরণ: \( x + y - 2 = 0 \), অর্থাৎ, \( A=1 \), \( B=1 \), \( C=-2 \)।

   দূরত্ব:
   \[
   d = \frac{|1 \times 2 + 1 \times 3 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 3 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}
   \]
   

3. যেহেতু রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই: \[ r = d = \frac{3}{\sqrt{2}} \] অর্থাৎ, \[ r^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{9}{2} \]

   বৃত্তের সমীকরণে স্থানান্তর করলে:
   \[
   (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = \frac{9}{2}
   \]
   এখন, সমীকরণটি সাধারণ রূপে আনব।
   

4. বৃত্তের সমীকরণটি প্রসারিত করি: \[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = \frac{9}{2} \]

   \[
   x^2 + y^2 - 4x - 6y + (4 + 9) = \frac{9}{2}
   \]
   \[
   x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = \frac{9}{2}
   \]
   

5. বাম পাশের সব সদস্যকে পূর্ণসংখ্যায় রূপান্তর করি: \[ 2x^2 + 2y^2 - 8x - 12y + 26 = 9 \] (দুই সব সদস্য দ্বিগুণ করে)

   সমীকরণ:
   \[
   2x^2 + 2y^2 - 8x - 12y + 26 = 9
   \]
   অথবা,
   \[
   2x^2 + 2y^2 - 8x - 12y + (26 - 9) = 0
   \]
   \[
   2x^2 + 2y^2 - 8x - 12y + 17 = 0
   \]
   

বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{
2x^2 + 2y^2 - 8x - 12y + 17 = 0
}
\]
অথবা, সাধারণ রূপে:
\[
\boxed{
2(x^2 + y^2) - 8x - 12y + 17 = 0
}
\]

"2(x^2 + y^2) - 8x - 12y + 17 = 0"