int_0^4 sqrt(3x+4) dx    এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{4} \sqrt{3x+4} \, dx \) এর মান নির্ণয় করো। 🤔

সমাধান:

ধরি, \( u = 3x + 4 \)
তাহলে, \( du = 3 \, dx \)
সুতরাং, \( dx = \frac{1}{3} \, du \) 😊

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = 3(0) + 4 = 4 \)
যখন \( x = 4 \), তখন \( u = 3(4) + 4 = 16 \) 🤩

এখন, সমাকলনটি হবে:

\( \int_{4}^{16} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int_{4}^{16} u^{\frac{1}{2}} \, du \)

\(= \frac{1}{3} \left[ \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{4}^{16} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{\frac{3}{2}} \right]_{4}^{16} \)

\(= \frac{2}{9} \left[ (16)^{\frac{3}{2}} - (4)^{\frac{3}{2}} \right] \)

\(= \frac{2}{9} \left[ (4^2)^{\frac{3}{2}} - (2^2)^{\frac{3}{2}} \right] \)

\(= \frac{2}{9} \left[ 4^3 - 2^3 \right] = \frac{2}{9} \left[ 64 - 8 \right] \)

\(= \frac{2}{9} \cdot 56 = \frac{112}{9} \) 🎉

অতএব, \( \int_{0}^{4} \sqrt{3x+4} \, dx = \frac{112}{9} \) 🥳