\( \int \frac{e^x + 1}{\sqrt{e^x}} dx = ? \)

সমাধান:

আমরা প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি লিখব:

\( \int \frac{e^x + 1}{\sqrt{e^x}} \, dx \)

প্রথমে, ভেতরের ভেরিয়েবল পরিবর্তন করি। মনে করি: \( t = e^x \) অতএব, \( dt = e^x \, dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t} \)

এখন ইন্টিগ্রালটি রূপান্তর করি: \[ \int \frac{t + 1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{dt}{t} \] এখানে, \[ \frac{t + 1}{\sqrt{t}} = \frac{t}{\sqrt{t}} + \frac{1}{\sqrt{t}} = t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{-\frac{1}{2}} = t^{\frac{1}{2}} + t^{-\frac{1}{2}} \] অতএব, \[ \int \left( t^{\frac{1}{2}} + t^{-\frac{1}{2}} \right) \frac{1}{t} dt \] \[ = \int \left( t^{\frac{1}{2}} \cdot t^{-1} + t^{-\frac{1}{2}} \cdot t^{-1} \right) dt \] \[ = \int \left( t^{-\frac{1}{2}} + t^{-\frac{3}{2}} \right) dt \] এখন, পৃথকভাবে ইন্টিগ্রাল করি: \[ \int t^{-\frac{1}{2}} dt + \int t^{-\frac{3}{2}} dt \] প্রতিটির জন্য: \[ \int t^{m} dt = \frac{t^{m+1}}{m+1} + C \quad \text{যেখানে} \ m \neq -1 \] তাই, \[ \int t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{t^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2 t^{\frac{1}{2}} \] এবং \[ \int t^{-\frac{3}{2}} dt = \frac{t^{-\frac{3}{2} + 1}}{-\frac{3}{2} + 1} + C = \frac{t^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} = -2 t^{-\frac{1}{2}} \] অতএব, সম্পূর্ণ ইন্টিগ্রাল: \[ 2 t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{-\frac{1}{2}} + C \] শেষে, মূল ভেরিয়েবল \( t = e^x \) এ পরিবর্তন করি: \[ 2 \sqrt{e^x} - 2 \frac{1}{\sqrt{e^x}} + C = 2 e^{x/2} - 2 e^{-x/2} + C \] এবং, কারণ এটি মূল প্রশ্নের অনুরূপ, আমরা এটিকে সমাধানের শেষে লিখব: \[ \boxed{ \int \frac{e^x + 1}{\sqrt{e^x}} \, dx = 2 e^{x/2} - 2 e^{-x/2} + C } \]