যদি P=4i-2j+4k এবং Q=4i-2j-k হয়, তাহলে P ও Q মধ্যবর্তী কোণ কোনটি?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়

দেওয়া আছে,

\( \overrightarrow{P} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k} \)

\( \overrightarrow{Q} = 4\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k} \)

দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) হলে, আমরা জানি,

\( \cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{Q}}{|\overrightarrow{P}| |\overrightarrow{Q}|} \)

প্রথমে, \( \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{Q} \) নির্ণয় করি:

\( \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{Q} = (4)(4) + (-2)(-2) + (4)(-1) = 16 + 4 - 4 = 16 \)

এরপর, \( |\overrightarrow{P}| \) এবং \( |\overrightarrow{Q}| \) নির্ণয় করি:

\( |\overrightarrow{P}| = \sqrt{(4)^2 + (-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \)

\( |\overrightarrow{Q}| = \sqrt{(4)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21} \)

এখন, \(\cos{\theta}\) এর মান বসিয়ে পাই:

\( \cos{\theta} = \frac{16}{6\sqrt{21}} = \frac{8}{3\sqrt{21}} \)

\( \cos{\theta} = \frac{8\sqrt{21}}{3 \times 21} = \frac{8\sqrt{21}}{63} \)

অতএব,

\( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{8\sqrt{21}}{63}\right) \)

সুতরাং, \( \overrightarrow{P} \) ও \( \overrightarrow{Q} \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( \cos^{-1}\left(\frac{8\sqrt{21}}{63}\right) \) । 🎉 ```