(-3, -4) ও (6, 2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাটিকে y-অক্ষরেখা যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে, তা হলো—
সঠিক উত্তরঃ
B.
1 : 2
Another Explanation (5): প্রথমে, দুই বিন্দুর সংযোগ রেখাটির মধ্যবিন্দু নির্ণয় করি:
দ্বৈত বিন্দু \(A(-3, -4)\) এবং \(B(6, 2)\)।
মধ্যবিন্দু \(M\) এর সমীকরণ:
\[
M_x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-3 + 6}{2} = \frac{3}{2} = 1.5
\]
\[
M_y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\]
অতএব, মধ্যবিন্দু \(M(1.5, -1)\)।
দ্বিতীয়ত, রেখাটি??ে \(y\)-অক্ষরেখা (অর্থাৎ \(x=0\)) দ্বারা অন্তর্বিভক্ত করতে হলে, রেখাটির উপর যে বিন্দু \(P\) দিয়ে \(y\)-অক্ষরেখা \(x=0\) অতিক্রম করে, সেই বিন্দুর \(x\)-অক্ষের মান হবে 0।
আমরা রেখাটির সরলরেখার সমীকরণ খুঁজে বের করি:
দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার সমীকরণ:
\[
\text{slope} \, m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-4)}{6 - (-3)} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
\]
রেখার সমীকরণ:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
\[
y - (-4) = \frac{2}{3}(x - (-3))
\]
\[
y + 4 = \frac{2}{3}(x + 3)
\]
\[
y + 4 = \frac{2}{3}x + 2
\]
\[
y = \frac{2}{3}x + 2 - 4
\]
\[
y = \frac{2}{3}x - 2
\]
এখন, রেখাটির \(y\)-অক্ষরেখা \(x=0\) এ অতিক্রম করে:
\[
y = \frac{2}{3} \times 0 - 2 = -2
\]
অর্থাৎ, রেখাটির \(y\)-অক্ষরেখার সাথে ছেদ বিন্দু:
\[
P(0, -2)
\]
অতএব, রেখাটির দুই ছেদ বিন্দু হলো:
\[
A(-3, -4), \quad P(0, -2)
\]
তালিকা দেয়ার জন্য, রেখাটির অংকন ও অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে, অর্থাৎ, রেখাটির দুই অংশের অনুপাত:
\[
\frac{\text{অংশ 1}}{\text{অংশ 2}} = \frac{\text{AP}}{\text{PB}}
\]
অথবা, \(A\) থেকে \(P\) পর্যন্ত দূরত্ব \(AP\):
\[
AP = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{(3)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
\]
\(P\) থেকে \(B\) পর্যন্ত দূরত্ব \(PB\):
\[
PB = \sqrt{(6 - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}
\]
অতএব, রেখাটিকে \(y\)-অক্ষরেখা দ্বারা বিভাজিত করে, সেই অংশের অনুপাত:
\[
\frac{AP}{PB} = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{1}{2}
\]
অর্থাৎ, রেখাটির প্রথম অংশের অনুপাত 1 এবং দ্বিতীয় অংশের অনুপাত 2।
সুতরাং, উত্তর হলো:
\[
\boxed{"01:02:00"}
\]