int_0^(pi/4)cosxsin^3xdx এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} \sin^{3}{x} dx \) এর মান নির্ণয় করো।🤔

সমাধান: 🧐

ধরি, \( \sin{x} = z \). 🤩

সুতরাং, \( \cos{x} dx = dz \) হবে। 😇

এখন, যখন \( x = 0 \), তখন \( z = \sin{0} = 0 \) এবং যখন \( x = \frac{\pi}{2} \), তখন \( z = \sin{\frac{\pi}{2}} = 1 \)। 😎

অতএব, সমাকলনটি \( z \) চলকের সাপেক্ষে পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়: \( \int_{0}^{1} z^{3} dz \) 🤓

আমরা জানি, \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)। 🥳

সুতরাং, \( \int_{0}^{1} z^{3} dz = \left[ \frac{z^{4}}{4} \right]_{0}^{1} \) । 🤩

এখন, আপার লিমিট এবং লোয়ার লিমিট বসালে পাই, \( \frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4} \)। 😲

অতএব, \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} \sin^{3}{x} dx = \frac{1}{4} \)। 😁

সুতরাং, উত্তর: \(\frac{1}{4}\) । 🎉