x-অক্ষ এবং (-5,-7) থেকে (4, k) বিন্দুটির দুরত্ব সমান হলে K - এর মান কোনটি?

সাধারণত, দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব সূত্র হলো:

দূরত্ব = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, x-অক্ষের বিন্দু \( (x, 0) \) এবং \( (-5, -7) \) থেকে \( (4, k) \) পর্যন্ত দূরত্ব সমান।

অর্থাৎ,

\[ \text{দূরত্ব থেকে } (-5, -7) \text{ পর্যন্ত} = \text{দূরত্ব থেকে } (x, 0) \text{ পর্যন্ত} \]

তাহলে,

\[ \sqrt{(4 - (-5))^2 + (k - (-7))^2} = \sqrt{(4 - x)^2 + (k - 0)^2} \]

কিন্তু, কারণ \( (x, 0) \) হলো x-অক্ষের বিন্দু, সুতরাং, \( y = 0 \)।

অর্থাৎ, আমাদের কাছে দুইটি দূরত্বের সমীকরণ হবে:

1. দূরত্ব থেকে \((-5, -7)\) পর্যন্ত:

\[ D_1 = \sqrt{(4 - (-5))^2 + (k - (-7))^2} = \sqrt{(9)^2 + (k + 7)^2} \]

2. দূরত্ব থেকে \((x, 0)\) পর্যন্ত:

\[ D_2 = \sqrt{(x - x)^2 + (k - 0)^2} = |k| \]

শর্ত অনুযায়ী, \(D_1 = D_2\), অর্থাৎ:

\[ \sqrt{81 + (k + 7)^2} = |k| \]

উভয় পক্ষের স্কোয়ার নিন:

\[ 81 + (k + 7)^2 = k^2 \]

বিস্তৃতি করে,

\[ 81 + k^2 + 14k + 49 = k^2 \]

সরলীকরণ করে,

\[ 81 + 49 + 14k = 0 \]

অর্থাৎ,

\[ 130 + 14k = 0 \]

সমাধান করে,

\[ 14k = -130 \]

\[ k = \frac{-130}{14} = \frac{-65}{7} \]