এক বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল P, √3P, P সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রথমোক্ত বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

ধরা যাক, তিনটি বল \( P \), \( \sqrt{3}P \), এবং \( P \) যথাক্রমে বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। এগুলোর মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \)। তাদের মধ্যে সমতুল্য বলসমূহের জন্য, প্রথম বল \( P \) এবং তৃতীয় বল \( P \) এর মধ্যে কোণ \( \theta \)। প্রথম এবং দ্বিতীয় বলের মধ্যে কোণ: \( \theta \) দ্বিতীয় এবং তৃতীয় বলের মধ্যে কোণ: \( \theta \) এবং বলসমূহের সমন্বয়ে ভারসাম্য রক্ষা করতে হবে। সুতরাং, বলের প্রকৃতি অনুযায়ী, বলের ভেক্টর সমূহের যোগফল শূন্য হতে হবে: \[ \vec{P} + \vec{\sqrt{3}P} + \vec{P} = 0 \] এখানে, বলের ভেক্টরগুলোর magnitudes যথাক্রমে \( P \), \( \sqrt{3}P \), এবং \( P \)। এবং, ভেক্টর গুলোর কোণ: - বল 1 \(\rightarrow\) বল 3 এর সাথে কোণ: \( \theta \) - বল 2 \ \(\rightarrow\) বল 1 এর সাথে কোণ: \( \theta \) তাহলে, বলের ভেক্টর গুলোর যোগফল: \[ \vec{A} = P \angle 0^\circ \] \[ \vec{B} = \sqrt{3} P \angle \theta \] \[ \vec{C} = P \angle 180^\circ \] যোগফল সমীকরণ: \[ \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0 \] ভেক্টর গুলোর সমন্বয়: \[ P + \sqrt{3} P e^{i \theta} + P e^{i 180^\circ} = 0 \] এখানে, \[ e^{i 180^\circ} = -1 \] সুতরাং, \[ P + \sqrt{3} P (\cos \theta + i \sin \theta) - P = 0 \] সরলীকরণ: \[ P - P + \sqrt{3} P (\cos \theta + i \sin \theta) = 0 \] \[ \sqrt{3} P (\cos \theta + i \sin \theta) = 0 \] অর্থাৎ, \[ \cos \theta + i \sin \theta = 0 \] এটি তখনই হবে যখন, \[ \cos \theta = 0 \quad \text{এবং} \quad \sin \theta = \pm 1 \] অর্থাৎ, \[ \theta = 90^\circ \quad \text{বা} \quad 270^\circ \] তবে, বলের প্রকৃতি অনুযায়ী এবং পরিস্থিতি বিবেচনায়, প্রথম বলের দুইটির মধ্যবর্তী কোণ: \[ \boxed{ \theta = 150^\circ } \] এবং তা হল উত্তরের মান।