sec^-1x+sin^-1(1/x) = ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \sec^{-1}x + \sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = ? \) উত্তর: \( \frac{\pi}{2} \) সমাধান: প্রথমে, ধরা যাক \( \sec^{-1}x = \theta \), তাহলে: \[ x = \sec \theta \] এবং, যেহেতু \( \sec \theta \geq 1 \) বা \( \leq -1 \), তাই: \[ x \leq -1 \quad \text{অথবা} \quad x \geq 1 \] এবং, \[ \sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \phi \] অর্থাৎ, \[ \frac{1}{x} = \sin \phi \] এবং, \[ - \frac{\pi}{2} \leq \phi \leq \frac{\pi}{2} \] এখন, \( x = \sec \theta \) থেকে: \[ x = \frac{1}{\cos \theta} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{x} \] তাহলে, \[ \sin \phi = \frac{1}{x} = \cos \theta \] অর্থাৎ, \[ \sin \phi = \cos \theta \] যেহেতু \( \phi \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \), এবং \( \theta \) এর জন্য \( \sec^{-1}x \) এর মান, আমরা পাই: \[ \phi = \frac{\pi}{2} - \theta \] কারণ, \[ \sin \phi = \cos \theta \Rightarrow \phi = \arcsin(\cos \theta) \] কিন্তু, যেহেতু \( \cos \theta \geq 0 \) বা \( \leq 0 \), তবে ভালভাবে প্রকাশ করতে, \[ \phi + \theta = \frac{\pi}{2} \] অতএব, \[ \sec^{-1}x + \sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \theta + \phi = \theta + \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\pi}{2} \] অতএব, \[ \boxed{\sec^{-1}x + \sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}} \]