\( \lim_{x \to 0} (\sec x)^x \) এর মান কোনটি?

সমাধান:

প্রথমে, আমরা নিধারিত সীমা বিবেচনা করি:

\[ \lim_{x \to 0} (\sec x)^x \]

এখানে, এটি একটি ধরণের সূচকের ধ্রুবক সীমা, তাই আমরা লিমিটের ভিতরে এক্সপ্রেশনটিকে একটি লগারিদমে রূপান্তর করব।

ধরা যাক,

\[ L = \lim_{x \to 0} (\sec x)^x \]

তাহলে,

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} x \ln (\sec x) \]

এখন, \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\), তাই:

\[ \ln (\sec x) = - \ln (\cos x) \]

অতএব,

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} - x \ln (\cos x) \]

আমরা জানি, যখন \(x \to 0\), \(\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}\). সুতরাং,

\[ \ln (\cos x) \approx \ln \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) \]

এবং, \(\ln(1 + y) \approx y\) যখন \(y \to 0\), তাই:

\[ \ln (\cos x) \approx - \frac{x^2}{2} \]

অতএব,

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} - x \left(- \frac{x^2}{2}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{2} = 0 \]

সুতরাং,

\[ L = e^0 = 1 \]

উপসংহার:

অতএব,

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} (\sec x)^x = 1 } \]