cosec² (tan^-1√3) এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা প্রদত্ত প্রশ্নটি হলো:

\[ \text{cosec}^2 \left(\tan^{-1} \sqrt{3}\right) \]

প্রথমে, আমরা জানি যে:

\[ \theta = \tan^{-1} \sqrt{3} \] অর্থাৎ, \(\tan \theta = \sqrt{3}\).

ধাপ 1:

তালিকা অনুযায়ী, \(\tan \theta = \frac{\text{প্রতিপক্ষে}}{\text{সমান্তরালে}}\)

আমরা জানি যে, \(\tan \theta = \sqrt{3}\) হলে, এটি একটি সাধারণ মান যেখানে:

\[ \frac{\text{প্রতিপক্ষে}}{\text{সমান্তরালে}} = \sqrt{3} \]

উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রতিপক্ষে \(a\) হয়, এবং সমান্তরালে \(b\) হয়, তবে:

\[ \frac{a}{b} = \sqrt{3} \]

একটি সাধারণ রুপি মান হলো: \(a = \sqrt{3}\) এবং \(b = 1\)

ধাপ 2:

তাই, একক কল্পনায় ধারণা নেওয়া যাক একটি ত্রিভুজ যেখানে:

• প্রতিপক্ষে = \(\sqrt{3}\)
• সমান্তরালে = 1

অর্থাৎ, এই ত্রিভুজের হাইপোটেনিউজ হবে:

\[ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]

ধাপ 3:

এখন, আমরা জানি:

\[ \sin \theta = \frac{\text{প্রতিপক্ষে}}{\text{হাইপোটেনি???জ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos \theta = \frac{\text{সমান্তরালে}}{\text{হাইপোটেনিউজ}} = \frac{1}{2} \]

ধাপ 4:

তাহলে, \(\text{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)

অর্থাৎ:

\[ \text{cosec} \theta = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \]

ধাপ 5:

অতএব,

\[ \text{cosec}^2 \theta = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3} \]

উত্তর:

সুতরাং,

\[ \boxed{\text{cosec}^2 \left(\tan^{-1} \sqrt{3}\right) = \frac{4}{3}} \]