lim_(x->0) (tan^-1x)/x = কত? 

সমাধান:

আমরা দেখতে চাই,
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}\)

এটি একটি সাধারণ লিমিট যা \(\arctan x\) এর টানজেন্টের লিমিটের সাথে সম্পর্কিত।

প্রথমে, মনে করুন যে, যখন \(x \to 0\), তখন \(\arctan x \to 0\)।

এই লিমিটটি সরাসরি লিমিটের পরিচিতি থেকে জানা যায় যে, \(\arctan x\) এর টানজেন্টের মূল মান হল \(\frac{\sin x}{x}\) এর মতো। তবে, সরাসরি সমাধান করতে, আমরা লিমিটের মৌলিক সংজ্ঞা বা লোয়ার ডেরিভেটিভ ব্যবহার করতে পারি।

অথবা, আমরা লিমিটের জন্য লোপিত (derivative) ব্যবহার করতে পারি।

যে কারণে, আমরা বলতে পারি:

• যেহেতু \(\arctan x\) এর ডেরিভেটিভ হল \(\frac{1}{1 + x^2}\)
• তাহলে, \(\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}\) এর মান হল লোয়ার ডেরিভেটিভের মান যখন \(x \to 0\)।

অর্থাৎ,

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} \]

এবং, এই লিমিটের জন্য, আমরা লিমিটের সংজ্ঞা বা লোয়ার ডেরিভেটিভ ব্যবহার করতে পারি।

অথবা, সরাসরি, লিমিটের মান নির্ণয়ের জন্য, আমরা লিমিটের সংজ্ঞা অনুসারে বলতে পারি:

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = \left. \frac{d}{dx} \arctan x \right|_{x=0} \)

এবং, ডেরিভেটিভ হল:

\( \frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2} \)

এবং, যখন \(x=0\), তখন:

\( \frac{1}{1 + 0^2} = 1 \)

অতএব,

\( \boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1} \)