ABC ত্রিভুজের cosA+cosC=sinB হলে, ∠C এর মান কত?
দেওয়া আছে, \( \cos A + \cos C = \sin B \). 😊
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি \( \pi \) বা 180°। সুতরাং, \( A + B + C = \pi \). 🤓
অতএব, \( B = \pi - (A + C) \). 🤔
সুতরাং, \( \sin B = \sin (\pi - (A + C)) = \sin (A + C) \). 🤩
তাহলে, \( \cos A + \cos C = \sin (A + C) \). 😮
\( \cos A + \cos C = \sin A \cos C + \cos A \sin C \) 🤯
\( \cos A - \cos A \sin C = \sin A \cos C - \cos C \) 😲
\( \cos A (1 - \sin C) = \cos C (\sin A - 1) \) 😥
\( \cos A (1 - \sin C) = - \cos C (1 - \sin A) \) 😖
এখন, \( \cos A + \cos C = \sin B \) সমীকরণটিকে \( \sin B = \sin(A+C) \) দিয়ে প্রতিস্থাপন করে পাই,
\( \cos A + \cos C = \sin A \cos C + \cos A \sin C \) 😇
\( \cos A (1 - \sin C) + \cos C (1 - \sin A) = 0 \) 😉
যদি \( A = \frac{\pi}{2} \), তবে \( \cos A = 0 \). সেক্ষেত্রে, \( \cos C (1 - 1) = 0 \), যা সঠিক। 🤗
আবার, যদি \( C = \frac{\pi}{2} \), তবে \( \cos C = 0 \). সেক্ষেত্রে, \( \cos A (1 - 1) = 0 \), যা সঠিক। 😎
এখন আমরা অন্যভাবে চিন্তা করি,
\( \cos A + \cos C = \sin(A+C) \)
\( 2\cos(\frac{A+C}{2})\cos(\frac{A-C}{2}) = 2\sin(\frac{A+C}{2})\cos(\frac{A+C}{2}) \)
\( \cos(\frac{A+C}{2})[\cos(\frac{A-C}{2}) - \sin(\frac{A+C}{2})] = 0 \)
Either \( \cos(\frac{A+C}{2}) = 0 \) or \( \cos(\frac{A-C}{2}) = \sin(\frac{A+C}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2}) \)
Case 1: \( \cos(\frac{A+C}{2}) = 0 \)
\( \frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} \)
\( A+C = \pi \)
Then \( B=0 \) which is not possible.
Case 2: \( \cos(\frac{A-C}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2}) \)
\( \frac{A-C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2} \)
\( A-C = \pi - A - C \)
\( 2A = \pi \)
\( A = \frac{\pi}{2} \)
Or \( \frac{A-C}{2} = -(\frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2}) \)
\( A-C = - \pi + A + C \)
\( 2C = \pi \)
\( C = \frac{\pi}{2} \)
যদি \(C = \frac{\pi}{2}\) হয়, তবে \( \cos A + \cos(\frac{\pi}{2}) = \sin B \).
\( \cos A = \sin B \)
\( \cos A = \sin (\pi - (A + \frac{\pi}{2})) \)
\( \cos A = \sin (\frac{\pi}{2} - A) \)
\( \cos A = \cos A \) ইহা সর্বদা সত্য।
সুতরাং, \( \angle C = \frac{\pi}{2} \). 🎉
```