(-2, 3) বিন্দুতে কেন্দ্র এবং y-অক্ষকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?
সঠিক উত্তরঃ
A.
x2 + y2 + 4x - 6y + 9 = 0
Another Explanation (5): প্রশ্ন: (-2, 3) বিন্দুতে কেন্দ্র এবং y-অক্ষকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?
সমাধান:
ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্র \(\ (h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\)। বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
প্রথমত, কারণ বৃত্তের কেন্দ্র \((-2, 3)\), অতএব,
\[
h = -2,\quad k = 3
\]
তাহলে,
\[
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = r^2
\]
দ্বিতীয়ত, যেহেতু বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে, অর্থাৎ y-অক্ষের সঙ্গে এটির একমাত্র স্পর্শ বিন্দু রয়েছে। y-অক্ষের সমীকরণ হলো:
\[
x = 0
\]
এবং যেহেতু y-অক্ষ স্পর্শ করে, তাহলে বৃত্তের কেন্দ্র থেকে x-অক্ষের দূরত্ব (অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ \(r\)) হবে কেন্দ্রের x-সংখ্যার মানের সাথে দূরত্ব। কারণ, কেন্দ্রের x-সংখ্যা \(-2\), তাই:
\[
r = |h| = |-2| = 2
\]
অর্থাৎ,
\[
r = 2
\]
তাহলে, বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4
\]
এই সমীকরণকে সরাসরি প্রকাশ করলে:
\[
x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 4
\]
উভয় পাশে 4 যোগ করি:
\[
x^2 + 4x + y^2 - 6y + (4 + 9) = 4
\]
অর্থাৎ,
\[
x^2 + 4x + y^2 - 6y + 13 = 4
\]
অতএব,
\[
x^2 + 4x + y^2 - 6y + 9 = 0
\]
তাই, বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0}
\]