int_0^4 dx/(sqrt(2x+1)) এর মান হয়

আমরা \(\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{2x+1}}\) এর মান নির্ণয় করব।

ধরি, \(u = 2x+1\)
তাহলে, \(du = 2dx\)
সুতরাং, \(dx = \frac{du}{2}\)

যখন \(x = 0\), তখন \(u = 2(0) + 1 = 1\)
যখন \(x = 4\), তখন \(u = 2(4) + 1 = 9\)

সুতরাং, \(\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{2x+1}} = \int_1^9 \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_1^9 u^{-\frac{1}{2}} du\)

\(= \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_1^9 = \frac{1}{2} \cdot 2 \left[ \sqrt{u} \right]_1^9 = \left[ \sqrt{9} - \sqrt{1} \right] = 3 - 1 = 2\)

অতএব, \(\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{2x+1}} = 2\)

সুতরাং, উত্তর 2। 🎉