f(x) ফাংশনের x=c বিন্দুতে f(x) এর গরিষ্ঠ মান হলে নিম্নের কোন শর্তটি সঠিক? 

প্রশ্নের উত্তর ও সমাধান:

প্রশ্নঃ যদি কোন বিন্দু \(x = c\) তে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠ মান হয়, তাহলে নিম্নের কোন শর্তটি সঠিক?

উত্তর প্রদান করা হয়েছে: \(f(c) - f(c+h) > 0\)

বিশ্লেষণ ও ব্যাখ্যা:

ধরি, \(f(x)\) একটি ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন।

যদি \(x = c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠ মান হয়, তাহলে এটির জন্য নিম্নলিখিত শর্ত প্রযোজ্য:

• প্রথম ডেরিভেটিভ \(f'(c) = 0\) অথবা \(f'(c)\) অনুপস্থিত।
• এবং, এই বিন্দুতে ফাংশনের মান শীর্ষ বা নিম্ন শিখরে (local maximum or minimum) বা গরিষ্ঠ মানের জন্য, নিচের শর্তগুলো প্রযোজ্য:

f'(c) = 0

অথবা, যদি ডেরিভেটিভ অনুপস্থিত হয়, তবে ফাংশনের গরিষ্ঠ মানের জন্য নিচের শর্ত মান্য হবে:

f(c) ≥ f(x) সব sufficiently কাছাকাছি \(x\) এর জন্য।

প্রশ্নে দেয়া শর্ত: \(f(c) - f(c+h) > 0\)

এটি অর্থাৎ:

f(c) > f(c+h)

অর্থাৎ, \(f(c)\) এর মান \(f(c+h)\) থেকে বড়। এটি নির্দেশ করে যে, \(f(x)\) এর মানের পক্ষে \(x=c\) বিন্দুতে একটি গরিষ্ঠ মান বা স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকতে পারে।

অর্থাৎ, যখন \(h \to 0^+\), তখন এই শর্তটি নিশ্চিত করে যে, \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর মান স্থানীয় গরিষ্ঠ বা শীর্ষ মান।

উপসংহার:

অতএব, শর্তটি যে:

f(c) - f(c+h) > 0

অর্থাৎ, \(f(c) > f(c+h)\), এই শর্তটি সত্য হলে বোঝায় যে, \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠ মান বা স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকতে পারে।

সুতরাং, এই শর্তটি সঠিক।