f:R→R ফাংশনটি f(x)=x²-1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে  f^-1(-8,8) এর মান কত হবে?

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, \( f(x) = x^2 - 1 \) এবং \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). আমাদের \( f^{-1}(-8, 8) \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। \( f^{-1}(-8, 8) = \{ x \in \mathbb{R} : -8 < f(x) < 8 \} \) অর্থাৎ, আমাদের সেই সকল \( x \) এর মান বের করতে হবে যাদের জন্য \( -8 < x^2 - 1 < 8 \) হয়। প্রথমে, \( x^2 - 1 > -8 \) বিবেচনা করি। \( x^2 - 1 > -8 \) \( x^2 > -7 \) যেহেতু \( x^2 \) সবসময় অঋণাত্মক হবে, তাই \( x^2 > -7 \) সকল \( x \in \mathbb{R} \) এর জন্য সত্য। 🥳 এখন, \( x^2 - 1 < 8 \) বিবেচনা করি। \( x^2 - 1 < 8 \) \( x^2 < 9 \) \( -3 < x < 3 \) 😍 তাহলে, \( x \) এর মান \( (-3, 3) \) এর মধ্যে থাকতে হবে। অতএব, \( f^{-1}(-8, 8) = (-3, 3) \) হবে। কিন্তু উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য, আমরা boundary condition গুলো একটু অন্যভাবে দেখি। 🤔 যদি \( f(x) = -8 \) হয়, তাহলে \( x^2 - 1 = -8 \Rightarrow x^2 = -7 \), যা বাস্তব নয়। 😒 যদি \( f(x) = 8 \) হয়, তাহলে \( x^2 - 1 = 8 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \). 😎 যেহেতু আমাদের \( -8 < f(x) < 8 \) বলা হয়েছে, তাই \( x \) এর মান \( -3 \) এবং \( 3 \) হতে পারবে না, কিন্তু তাদের মাঝে থাকতে হবে। তবে প্রদত্ত উত্তর \(\{-3, 3\}\) সঠিক নয়। সঠিক উত্তরটি হবে \( (-3, 3) \) অর্থাৎ \(-3\) থেকে \(3\) এর মধ্যে সকল বাস্তব সংখ্যা। যদি প্রশ্নপত্রে \( f^{-1}([-8, 8]) \) জানতে চাওয়া হত, তবে উত্তরটি \([-3, 3]\) হতে পারত।