একটি ফাংশন f : R---> R কে f(x)=x⁴+1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলে ফাংশন কী হবে?

ফাংশনটি এক-এক (One-to-one) কিনা তা নির্ণয়:

দেওয়া আছে, \( f(x) = x^4 + 1 \) একটি ফাংশন যা \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) এ সংজ্ঞায়িত।

যদি \( f(x) \) এক-এক ফাংশন হতে হয়, তবে \( f(a) = f(b) \) হলে \( a = b \) হতে হবে।

ধরি, \( f(a) = f(b) \) তাহলে, \( a^4 + 1 = b^4 + 1 \) \( \Rightarrow a^4 = b^4 \) \( \Rightarrow a^4 - b^4 = 0 \) \( \Rightarrow (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) = 0 \) \( \Rightarrow (a^2 + b^2)(a + b)(a - b) = 0 \)

এখন, \( a^2 + b^2 = 0 \) শুধুমাত্র তখনই হবে যখন \( a = 0 \) এবং \( b = 0 \)। কিন্তু অন্য ক্ষেত্রগুলোতে \( a = b \) নাও হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি \( a = 1 \) এবং \( b = -1 \) হয়, তবে: \( f(1) = (1)^4 + 1 = 1 + 1 = 2 \) \( f(-1) = (-1)^4 + 1 = 1 + 1 = 2 \) এখানে, \( f(1) = f(-1) \) কিন্তু \( 1 \neq -1 \)

সুতরাং, \( f(x) = x^4 + 1 \) ফাংশনটি এক-এক নয়। 😥

ফাইনাল আনসার: এক-এক নয়।