int_0^(π/2)sin²xdx এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx\) এর মান কত? উত্তর: \(\frac{\pi}{4}\) সমাধান: প্রথমে আমরা জানি, \(\sin^2 x\) এর জন্য ট্রিগনোমেট্রিক আইডেন্টিটি: \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] অতএব, \[ \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx \] এখন, ইন্টেগ্রেশন করি: \[ = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2x) \, dx \] এটি পৃথক করি: \[ = \frac{1}{2} \left( \int_0^{\pi/2} 1 \, dx - \int_0^{\pi/2} \cos 2x \, dx \right) \] প্রথম ইন্টেগ্রাল: \[ \int_0^{\pi/2} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} \] দ্বিতীয় ইন্টেগ্রাল: \[ \int_0^{\pi/2} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi/2} \] গণনা: \[ = \frac{\sin 2 \times (\pi/2)}{2} - \frac{\sin 0}{2} = \frac{\sin \pi}{2} - 0 = \frac{0}{2} = 0 \] অতএব, \[ \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \] সুতরাং, উত্তর হলো: \[ \boxed{\frac{\pi}{4}} \]