int_0^1ln(x+1)/(x+1)dx= কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান

দেওয়া ইনটিগ্রাল: \[ I = \int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x+1} \, dx \]

ধাপ ১: পরিবর্তনশীলের মাধ্যমে সমাধান

ধরি, \( t = x + 1 \), তাহলে \( dt = dx \), এবং সীমা পরিবর্তিত হবে: - যখন \( x = 0 \), তখন \( t = 1 \) - যখন \( x = 1 \), তখন \( t = 2 \) অতএব, \[ I = \int_{t=1}^{2} \frac{\ln t}{t} \, dt \]

ধাপ ২: ইন্টিগ্রালটি পরিচিত রূপে

আমরা জানি, \[ \int \frac{\ln t}{t} \, dt = \frac{(\ln t)^2}{2} + C \] সুতরাং, \[ I = \left[ \frac{(\ln t)^2}{2} \right]_{t=1}^{t=2} \]

ধাপ ৩: সীমান্ত মান যুক্ত করা

অতএব, \[ I = \frac{(\ln 2)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} \] এখানে, \(\ln 1 = 0\), তাই, \[ I = \frac{(\ln 2)^2}{2} \]

উপসংহার:

অতএব, সমাধান হলো: \[ \boxed{ \int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x+1} \, dx = \frac{1}{2} (\ln 2)^2 } \]