Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া ইনটিগ্রাল:
\[
I = \int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x+1} \, dx
\]
ধাপ ১: পরিবর্তনশীলের মাধ্যমে সমাধান
ধরি, \( t = x + 1 \), তাহলে \( dt = dx \), এবং সীমা পরিবর্তিত হবে:
- যখন \( x = 0 \), তখন \( t = 1 \)
- যখন \( x = 1 \), তখন \( t = 2 \)
অতএব,
\[
I = \int_{t=1}^{2} \frac{\ln t}{t} \, dt
\]
ধাপ ২: ইন্টিগ্রালটি পরিচিত রূপে
আমরা জানি,
\[
\int \frac{\ln t}{t} \, dt = \frac{(\ln t)^2}{2} + C
\]
সুতরাং,
\[
I = \left[ \frac{(\ln t)^2}{2} \right]_{t=1}^{t=2}
\]
ধাপ ৩: সীমান্ত মান যুক্ত করা
অতএব,
\[
I = \frac{(\ln 2)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2}
\]
এখানে, \(\ln 1 = 0\), তাই,
\[
I = \frac{(\ln 2)^2}{2}
\]
উপসংহার:
অতএব, সমাধান হলো:
\[
\boxed{
\int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x+1} \, dx = \frac{1}{2} (\ln 2)^2
}
\]
